Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Комплексные числа»

Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61161/problem_61161_img_2.gif">  с  δ = <i>ad – bc</i> ≠ 0  может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида  <i>w = ^R</i>/_<i>z</i>.

Докажите, что дробно-линейные отображения являются взаимно-однозначными отображениями расширенной комплексной плоскости.

Как действуют отображения  <img width="80" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61159/problem_61159_img_2.gif">  и  <img width="80" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61159/problem_61159_img_3.gif">  в случае, когда  δ = <i>ad – bc</i> = 0?

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

Найдите

а) образ окружности  |<i>z – a – bi</i>| = <img width="66" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61157/problem_61157_img_2.gif">  при отображении <i>w</i> = ¹/_<i>z</i>;

б) образ окружности  |<i>z – a</i>| = <i>R</i>  при отображении  <i>w</i> = <img width="97" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61157/problem_61157_img_3.gif">.

Куда переходит полоса  2 < Re <i>z</i> < 3  при отображениях:

  а)  <i>w = z</i>^–1;   б)  <i>w</i> = (<i>z</i> – 2)^–1;   в)  <i>w</i> = (<i>z</i> – ⁵/₂)^–1?

Постройте образ квадрата с вершинами  <i>A</i>(0, 0),  <i>B</i>(0, 2),  <i>C</i>(2, 2),  <i>D</i>(2, 0)  при следующих преобразованиях:

  а)  <i>w = iz</i>;   б)  <i>w</i> = 2<i>iz</i> – 1;   в)  <i>w = z</i>²;   г)  <i>w = z</i>^–1.

Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_2.gif">   причём в первом случае вектор <i>a</i> параллелен прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂, а во втором случае центр результирующей гомотетии <i>A</i> лежит на прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и  <i>k = k</i>₁<i>k</i>₂.  Здесь  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_3.gif">  обозначает гомотетию...

Представить гомотетию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61153/problem_61153_img_2.gif">  с центром в точке <i>i</i> с коэффициентом 2 в виде композиции параллельного переноса и гомотетии с центром в точке <i>O</i>.

<з>Выразите в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  следующие геометрические преобразования:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_2.gif">  б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_3.gif">  в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_4.gif">  г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_5.gif">;   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_6.gif">  е)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_7.gif"&gt...

Как представить в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  симметрию относительно прямой <i>l</i>, проходящей через начало координат под углом φ к оси <i>Ox</i>?

Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:

  а)  <i>w = z + a</i>;   б) <i>w</i> = 2<i>z</i>;   в) <i>w</i> = <i>z</i>(cos φ + <i>i</i> sin φ);   г)   <i>w</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> ?

Во что перейдёт угол градусной меры α вершиной в начале координат в результате преобразования  <i>w = z</i>³?

Во что перейдёт треугольник с вершинами в точках: 0,  1 – <i>i</i>,  1 + <i>i</i>  в результате преобразования  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61148/problem_61148_img_2.gif">

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) при всех действительных <i>x</i> принимает только положительные значения.

Докажите, что найдутся такие многочлены <i>a</i>(<i>x</i>) и <i>b</i>(<i>x</i>), для которых  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>²(<i>x</i>) + <i>b</i>²(<i>x</i>).

а) Докажите, что при нечётном  <i>n</i> > 1  справедливо равенство:   <img width="31" height="76" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_2.gif"><img width="29" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_3.gif"> = <img width="25" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_4.gif"> – <img width="26" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_5.gif">θ   (0 < θ < 1).

б) Докаж...

Докажите, что при нечётном  <i>n</i> > 1  справедливо равенство   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61145/problem_61145_img_2.gif">

Докажите, что все корни уравнения  <i>a</i>(<i>z – b</i>)^<i>n</i> = <i>c</i>(<i>z – d</i> )^<i>n</i>, где <i>a, b, c, d</i> – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.

Найдите все корни уравнения  (<i>z</i> – 1)^<i>n</i> = (<i>z</i> + 1)^<i>n</i>.

Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?

Найдите остаток от деления многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>^6<i>n</i> + <i>x</i>^5<i>n</i> + <i>x</i>^4<i>n</i> + <i>x</i>^3<i>n</i> + <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  на  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁶ + <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 1,  если известно, что &...

Пусть <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>x</i> – 1.  Докажите, что <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>xⁿ</i> – 1.

При каких <i>n</i> многочлен  (<i>x</i> + 1)^<i>n</i> – <i>xⁿ</i> – 1  делится на:

  а)  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1;   б)  (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)²;   в) (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)³?

При каких <i>n</i> многочлен  (<i>x</i> + 1)^<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  делится на:

  а)  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1;    б)  (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)²;    в)   (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)³?

Докажите, что при любых целых <i>a</i> и натуральном <i>n</i> выражение  (<i>a</i> + 1)^2<i>n</i>+1 + <i>a</i>^<i>n</i>+2  делится на  <i>a</i>² + <i>a</i> + 1.

При каких <i>n</i>

  а) многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  делится на  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1?

  б) многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i> – <i>xⁿ</i> + 1  делится на  <i>x</i>² – <i>x</i> + 1?