Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многочлены»

Известно, что квадратные уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  и  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> = 0  (<i>a, b</i> и <i>c</i> – отличные от нуля числа) имеют общий корень.

Найдите его.

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество:  <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Пусть  <i>P</i>(x) = <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀  – многочлен с целыми коэффициентами.

Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3^<i>n</i>+1 – <i>P</i>(<i>n</i> + 1)|,  ...,  |3¹ – <i>P</i>(1)|,  |1 – <i>P</i>(0)|  не меньше 1.

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x + ... + a_nxⁿ</i>  имеет число –1 корнем кратности  <i>m</i> + 1  тогда и только тогда, когда выполнены условия:

    <i>a</i>₀ – <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ – <i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>ⁿa_n</i> = 0,

    – <i>a</i>₁ + 2<i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>&l...

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i>+1 – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (2<i>n</i> + 1)<i>xⁿ</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>n</i>²<i>x</i>^<i>n</i>+2 – (2<i>n</i>² + 2<i>n</i> – 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (<i>n</i> + 1)²<i>xⁿ – x</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) делится на свою производную тогда и только тогда, когда <i>P</i>(<i>x</i>) имеет вид  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_n</i>(<i>x – x</i>₀)^<i>n</i>.

Решите систему     <img width="20" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_2.gif"><img width="318" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_3.gif"> (<i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, <i>b</i>₁, ..., <i>b_n</i> – различные числа.)

Докажите, что если  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь   <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif">   (<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">

где  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A<sub>...

Про многочлен   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>¹⁰ + <i>a</i>₉<i>x</i>⁹ + ... + <i>a</i>₀  известно, что   <i>f</i>(1) = <i>f</i>(–1),  ...,   <i>f</i>(5) = <i>f</i>(–5).  Докажите, что   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(– <i>x</i>)  для любого действительного <i>x</i>.

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – три различных числа. Докажите, что из равенств

    <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61060/problem_61060_img_2.gif"><img width="165" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61060/problem_61060_img_3.gif">

следует, что <i>x = y = z</i> = 0.

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – три различных числа. Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_2.gif"><img width="200" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_3.gif">

На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трёхчлена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадратного трёхчлена.

Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов, равнялись

5, 7 и 2 километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?

Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшого острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова.

В 12, 14 и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно.

Каким было расстояние до острова в 13 часов? Чему оно будет равно в 16 часов?

Постройте многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) степени не выше 2, которые удовлетворяют условиям:

  а)   <i>f</i>(0) = 1,   <i>f</i>(1) = 3,   <i>f</i>(2) = 3;

  б)   <i>f</i>(–1) = –1,   <i>f</i>(0) = 2,   <i>f</i>(1) = 5;

  в)   <i>f</i>(–1) = 1,   <i>f</i>(0) = 0,   <i>f</i>(2) = 4.

Какие остатки дает многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161052">161052</a> при делении на многочлены вида  <i>x</i> - <i>x</i>_i?

Пусть <i>A, B</i> и <i>C</i> – остатки от деления многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) на  <i>x – a,  x – b</i>  и  <i>x – c</i>.

Найдите остаток от деления того же многочлена на произведение  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>).

Пусть  <i>x</i>₁ < <i>x</i>₂ < ... < <i>x_n</i>  – действительные числа. Докажите, что для любых  <i>y</i>₁, <i>y</i>₂, ..., <i>y_n</i>  существует единственнный многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) степени не выше  <i>n</i> – 1,  такой, что  <i>f</i>(<i>x</i>₁) = <i>y</i>₁, ...,  <i>f</i>(<i>x_n</i>) = <i>y_n</i>.