Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия»

Пусть числа<i>u</i>_kопределены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества: а)1 -<i>u</i>₁+<i>u</i>₂-<i>u</i>₃+...+<i>u</i>_2n= 2ⁿ(1 - cos <i>x</i>)(1 - cos 3<i>x</i>)...(1 - cos(2<i>n</i>- 1)<i>x</i>); б)1 -<i>u</i>₁²+<i>u</i>₂²-<i>u</i>₃²+...+<i>u</i>_2n²= (- 1)ⁿ${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+...

Пусть<div align="CENTER"> <i>u</i>_k = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$. </div>Докажите, что числа<i>u</i>_kможно представить в виде многочлена от cos <i>x</i>.

<b>Формулы Рамануджана.</b>Докажите следующие тождества: а)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{5-3\sqrt[3]7}{2}}$; б)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt[3]9-6}{2}}$.

<b>Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона.</b>Докажите, что из системы (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>) следуют равенства<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \begin{array}{c} \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos \alpha,\\cos B=-\cos A\cos C+\sin A\sin C\cos \beta,\\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos \gamma,\ \hbox{\rm tg\ }\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}=\sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}, \end{array} \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER...

<b>Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла.</b>Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами$\alpha$,$\beta$,$\gamma$и противолежащими им двугранными углами<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Для него справедлива теорема синусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.7</a>) и две теоремы косинусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>), (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161248">8.8</a>) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства<div align="CENTER"> <!...

<b>Теорема косинусов.</b>Докажите, что соотношения (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161244">8.4</a>) равносильны системе<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \begin{array}{c}a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta,\c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma, \end{array} \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"><table> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"><i>a</i>² = <i>b</i>² + <i>c</i>² - 2<i>bc</i> cos$\displaystyle \alpha$...

Покажите, что из соотношений (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161244">8.4</a>) и дополнительных условий0 <$\alpha$<$\pi$,0 <$\beta$<$\pi$,0 <$\gamma$<$\pi$,<i>a</i>> 0,<i>b</i>> 0,<i>c</i>> 0 следуют равенства (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161244">8.3</a>).

<b>Теорема синусов.</b>Докажите, что из равенств<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma},\quad \alpha+\beta+\gamma=\pi \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER">$\displaystyle {\frac{a}{\sin\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{\sin\beta}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{\sin\gamma}}$,    $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \pi$</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (8.3)</td></tr> </table></div><br clear="ALL">следует:<...

Вычислите<div align="CENTER"> sin$\displaystyle \left(\vphantom{2\hbox{\rm arctg\ }\frac{1}{5}-\hbox{\rm arctg\ }\frac{5}{12}}\right.$2<i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ - <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{12}}$$\displaystyle \left.\vphantom{2\hbox{\rm arctg\ }\frac{1}{5}-\hbox{\rm arctg\ }\frac{5}{12}}\right)$. </div>

Докажите, что при0$\leqslant$$\varphi$$\leqslant$${\frac{\pi}{2}}$выполняется неравенство<div align="CENTER"> cos sin$\displaystyle \varphi$ > sin cos$\displaystyle \varphi$. </div>

Найдите соотношение междуarcsin cos arcsin <i>x</i>иarccos sin arccos <i>x</i>.

Докажите, что если 0 <<i>x</i>< 1 и<div align="CENTER"> $\displaystyle \alpha$ = 2<i>arctg</i> $\displaystyle {\frac{1+x}{1-x}}$,    $\displaystyle \beta$ = <i>arctg</i> $\displaystyle {\frac{1-x^2}{1+x^2}}$, </div>то$\alpha$+$\beta$=$\pi$.

Докажите равенство:<div align="CENTER"> arcsin <i>x</i> + arcsin <i>y</i> = $\displaystyle \eta$arcsin(<i>x</i>$\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + <i>y</i>$\displaystyle \sqrt{1-x^2}$) + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$, </div>где$\eta$= 1,$\varepsilon$= 0, если<i>xy</i>< 0 или<i>x</i>²+<i>y</i>²$\leqslant$1;$\eta$= - 1,$\varepsilon$= - 1, если<i>x</i>²+<i>y</i>²> 1,<i>x</i>< 0,<i>y</i>< 0;$\eta$= - 1,$\varepsilon$= 1, если<i>x</i>²+<i>y</i>²> 1,<i>x...

Докажите формулу:<div align="CENTER"> arccos <i>x</i> = $\displaystyle \left{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }0\leqslant x... ...\ \pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}$ </div>

Решите уравнение<div align="CENTER"> arcsin$\displaystyle {\dfrac{x^2-8}{8}}$ = 2 arcsin$\displaystyle {\dfrac{x}{4}}$ - $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$. </div>

Докажите, что при<i>x</i>> 1 выполняется равенство:<div align="CENTER"> 2<i>arctg</i> <i>x</i> + arcsin$\displaystyle {\frac{2x}{1+x^2}}$ = $\displaystyle \pi$. </div>

Докажите, что числа Фибоначчи{<i>F</i>_n} удовлетворяют соотношению<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \hbox{\rm arctg\ }F_{2n}-\hbox{\rm arctg\ } F_{2n+2}=\hbox{\rm arctg\ }F_{2n+1}. \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"><i>arcctg</i> <i>F</i>_2n - <i>arcctg</i> <i>F</i>_{2n + 2} = <i>arcctg</i> <i>F</i>_{2n + 1}.</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (8.2)</td></tr> </table></div>&lt...

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_1\cdot a_2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_2\cdot a_3}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_n\cdot a_{n+1}}}$, </div>если числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,...,<i>a</i>_{n + 1}образуют арифметическую прогрессию с разностью<i>r</i>(<i>a</i>₁> 0,<i>r</i>> 0).

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+1\cdot2x^2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+2\cdot 3x^2}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+n\cdot(n+1)x^2}}$    (<i>x</i> > 0). </div>

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{7}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$. </div>

Докажите равенство:<div align="CENTER"> 4<i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ - <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{239}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$. </div>

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arctg</i> <i>y</i> = <i>arctg</i> $\displaystyle {\frac{x+y}{1-xy}}$ + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$, </div>где$\varepsilon$= 0, если<i>xy</i>< 1,$\varepsilon$= - 1 , если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>< 0,$\varepsilon$= + 1, если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>> 0.

Чему равна сумма<i>arctg</i> <i>x</i>+<i>arcctg</i> <i>x</i>

Докажите формулы:<div align="CENTER"> arcsin(- <i>x</i>) = - arcsin <i>x</i>,    arccos(- <i>x</i>) = $\displaystyle \pi$ - arccos <i>x</i>. </div>

Докажите равенства:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arcctg</i> <i>x</i> = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$;    arcsin <i>x</i> + arccos <i>x</i> = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$. </div>