Рассмотрим два случая.

  1)  x = 1.  Тогда  z + t = y = zt – 1,  откуда  (z – 1)(t – 1) = zt – z – t + 1 = 2.  Следовательно,  {z, t} = {2, 3},  y = 6 – 1 = 5.

  2)  x, y, z, t > 1.  Тогда  (x – 1)(y – 1) ≥ 1,  то есть  xy ≥ x + y.  Аналогично  zt ≥ z + t.  Складывая, получаем  xy + zt ≥ x + y + z + t.  С другой стороны, складывая уравнения данной системы, получаем  xy + zt = x + y + z + t.  Следовательно, оба неравенства xy ≥ x + y  и  zt ≥ z + t  на самом деле есть равенства, то есть  x = y = z = t = 2.

(1, 5, 2, 3),  (5, 1, 2, 3),  (1, 5, 3, 2),  (5, 1, 3, 2),  (2, 3, 1, 5),  (2, 3, 5, 1),  (3, 2, 1, 5),  (3, 2, 5, 1),  (2, 2, 2, 2).