Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел»

Известно, что квадратные уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  и  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> = 0  (<i>a, b</i> и <i>c</i> – отличные от нуля числа) имеют общий корень.

Найдите его.

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например,  ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈.  Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Найдите сумму   1·1! + 2·2! + 3·3! + … + <i>n</i>·<i>n</i>!.

Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

<b><em>Слоны, носороги, жирафы.</em></b>Во всех зоопарках, где есть слоны и носороги, нет жирафов. Во всех зоопарках, где есть носороги и нет жирафов, есть слоны. Наконец, во всех зоопарках, где есть слоны и жирафы, есть и носороги. Может ли быть такой зоопарк, в котором есть слоны, но нет ни жирафов, ни носорогов?

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Даны два натуральных числа <i>m</i> и <i>n</i>. Выписываются все различные делители числа <i>m</i> – числа <i>a, b, ..., k</i> – и все различные делители числа <i>n</i> – числа <i>s, t, ..., z</i>. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  <i>a + b + ... + k = s + t + ... + z</i>  и  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ... + ¹/_<i>k</i> = ¹/_<i>s</i> + ¹/_<i>t</i> + ... + ¹/<sub>&l...

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество:  <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Доказать: число делителей <i>n</i> не превосходит 2<img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78208/problem_78208_img_2.gif">.

Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, при этом  <i>x_k</i> = ±1.  Доказать, что если  <i>x</i>₁<i>x</i>₂ + <i>x</i>₂<i>x</i>₃ + ... + <i>x_nx</i>₁ = 0,  то <i>n</i> делится на 4.

Имеется система уравнений     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.

Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Найти все действительные решения системы уравнений   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">

Известно, что  <i>ax</i>⁴ + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>,  где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.

Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.

Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...