Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» - сложность 3 с решениями
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
НазадНа двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>+1</sub> выражаются конечными десятичными дробями.
В квадратном уравнении <i>x</i>² + <i>px + q</i> коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.
Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.
Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество: <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).
Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, при этом <i>x<sub>k</sub></i> = ±1. Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, то <i>n</i> делится на 4.
Найти все действительные решения системы уравнений <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">
Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?
На сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
Решите систему
<i>y</i><sup>2</sup> = 4<i>x</i><sup>3</sup> + <i>x</i> – 4,
<i>z</i><sup>2</sup> = 4<i>y</i><sup>3</sup> + <i>y</i> – 4,
<i>x</i><sup>2</sup> = 4<i>z</i><sup>3</sup> + <i>z</i> – 4.
Пусть <i>P</i>(x) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + ... + a</i><sub>1</sub><i>x + a</i><sub>0</sub> – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел |3<sup><i>n</i>+1</sup> – <i>P</i>(<i>n</i> + 1)|, ..., |3<sup>1</sup> – <i>P</i>(1)|, |1 – <i>P</i>(0)| не меньше 1.
Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + ... + a<sub>n</sub>x<sup>n</sup></i> имеет число –1 корнем кратности <i>m</i> + 1 тогда и только тогда, когда выполнены условия:
<i>a</i><sub>0</sub> – <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> – <i>a</i><sub>3</sub> + ... + (–1)<i><sup>n</sup>a<sub>n</sub></i> = 0,
– <i>a</i><sub>1</sub> + 2<i>a</i><sub>2</sub> – 3<i>a</i><sub>3</sub> + ... + (–1)<i>&l...
Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) делится на свою производную тогда и только тогда, когда <i>P</i>(<i>x</i>) имеет вид <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub></i>(<i>x – x</i><sub>0</sub>)<sup><i>n</i></sup>.
<b>Из километров — в мили.</b>В задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160577">3.125</a>была введена фибоначчиева система счисления. Она оказывается удобной, когда нужно сделать перевод расстояния из километров в мили или наоборот. Предположим, что мы хотим узнать, сколько миль в 30 километрах. Для этого представляем число 30 в фибоначчиевой системе счисления:<div align="CENTER"> 30 = 21 + 8 + 1 = <i>F</i><sub>8</sub> + <i>F</i><sub>6</sub> + <i>F</i><sub>2</sub> = (1010001)<sub>F</sub>. </div>Теперь нужно сдвинуть каждое число на одну позицию вправо, получая<div align="CENTER"> <i>F</i><sub>7</sub> + <i>...
Коля Васин, решая задачу, получил в ответе шестизначное число. А потом он подумал, что это произведение двух трехзначных чисел и выполнил умножение. Каким был первоначальный ответ, если второй ответ оказался в три раза меньше?
Докажите, что 13-е число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.
Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61528/problem_61528_img_2.gif">
Числа <i>P<sub>kl</sub></i>(<i>n</i>) определены в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>.
Докажите, что при любых <i>k</i> и <i>l</i> многочлен <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) является возвратным, то есть <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61527/problem_61527_img_2.gif">
(Определение многочленов Гаусса см. <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>.)
Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161519">161519</a> и равенством <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_2.gif"> где
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_3.gif"> – обобщенные биномиальные коэффициенты.
Определение чисел Каталана можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?%20letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.
Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + $\displaystyle {\frac{y^2}{2!}}$ + $\displaystyle {\frac{y^3}{3!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{y^n}{n!}}$ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.
Придумайте какое-либо взаимно-однозначное соответствие между разбиениями натурального числа на различные и на нечётные слагаемые.
На доске написано <i>n</i> натуральных чисел. Пусть <i>a<sub>k</sub></i> – количество тех из них, которые больше <i>k</i>. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные <i>a<sub>k</sub></i>. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка (5, 3, 3, 2) → (4, 4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2).
Вычислите, используя производящие функции, следующие суммы:
а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_3.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_4.gif"> г) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_5.gif">
Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи <i>F</i>(<i>x, z</i>) = <i>F</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) + <i>F</i><sub>1</sub>(<i>x</i>)<i>z + F</i><sub>2</sub>(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <i>F<sub>n</sub></i>(<i>x</i>)<i>z<sup>n</sup></i> + ...
и последовательности многочленов Люка <i>L</i>(<i>x, z</i>) = <i>L</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) + <i>L</i><sub>1</sub>(<i>x</i>)<i>z + L</i><sub>2</sub>(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <...
Вычислите суммы а)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{F_n}{2^n}}$; б)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{L_n}{2^n}}$. Здесь L<sub>n</sub>обозначает числа Люка, смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">3.133</a>.
а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">160585</a>)б) Пользуясь этой функцией, выразите <i>L<sub>n</sub></i> через φ и <img width="15" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61504/problem_61504_img_2.gif"> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161502">161502</a>).