Задача
В квадратном уравнении x² + px + q коэффициенты p, q независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.
Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.
Решение
Решение 1: Наибольшее возможное значение m корня 
такого уравнения равно 
Это значение достигается для уравнения x² – x – 1. Очевидно, наибольшее возможное значение корня уравнения, удовлетворяющего условиям, равно – m.
Пусть |p| ≤ 1. Тогда pm – корень уравнения x² – px – p², которое тоже удовлетворяет условиям. Следовательно, корни даже уравнений такого вида пробегают весь отрезок [– m, m].
Решение 2: Переформулируем задачу: при каких значениях u найдётся такое v, что |u + v| ≤ 1 и |uv| ≤ 1 (u, v – корни нашего уравнения). Нарисовав на плоскости соответствующие множества, увидим, что их пересечение – криволинейный четырёхугольник, центрально симметричный относительно начала координат. Абсцисса m его крайней правой точки – больший корень уравнения 1 – m = – 1/m. Следовательно, u принимает все значения между – m и m.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь