Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 9 класса - сложность 1-5 с решениями
X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)
НазадИз некоторой точки <i>D</i> в плоскости треугольника <i>ABC</i> провели прямые, перпендикулярные к отрезкам <i>DA, DB, DC</i>, которые пересекают прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что середины отрезков <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> лежат на одной прямой.
В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высота из вершины <i>A</i>, биссектриса из вершины <i>B</i> и медиана из вершины <i>C </i>пересекаются в одной точке <i>K</i>.
а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?
б) Какой из отрезков <i>AK, BK, CK</i> средний по величине?
Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.
На окружности ω c центром <i>O</i> фиксированы точки <i>A</i> и <i>C</i>. Точка <i>B</i> движется по дуге <i>AC</i>. Точка <i>P</i> – фиксированная точка хорды <i>AC</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>AO</i>, пересекает прямую <i>BA</i> в точке <i>A</i><sub>1</sub>; прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>CO</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub> движется по прямой.
Окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Точки <i>K</i><sub>1</sub> и <i>K</i><sub>2</sub> на ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> соответственно таковы, что <i>K</i><sub>1</sub><i>A</i> касается ω<sub>2</sub>, а <i>K</i><sub>2</sub><i>A</i> касается ω<sub>1</sub>. Описанная окружность треугольника <i>K</i><sub>1</sub><i>BK</i><sub>2</sub> пересекает вторично прямые <i>AK</i><sub>1</sub> и <i>AK</i><sub>2</sub> в точках <i>L</i><sub&...
Точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> квадрата <i>ABCD</i> образуют еще один квадрат. <i>DK</i> пересекает <i>NM</i> в точке <i>E</i>, а <i>KC</i> пересекает <i>LM</i> в точке <i>F</i>.
Докажите, что <i>EF || AB</i>.
В угол вписаны непересекающиеся окружности ω<sub>1 </sub> и ω<sub>2</sub>. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>, что <i>l</i><sub>1</sub> касается ω<sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> касается ω<sub>2</sub> (ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> находятся между <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми <i>l</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.
Окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, касающиеся внешним образом в точке <i>L</i>, вписаны в угол <i>BAC</i>. Окружность ω<sub>1</sub> касается луча <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а окружность ω<sub>2</sub> – луча <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Прямая <i>EL</i> пересекает повторно окружность ω<sub>2</sub> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>MQ || AL</i>.
Дан прямоугольник <i>ABCD</i>. Через точку <i>B</i> провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону <i>AD</i> в точке <i>K</i>, а вторая продолжение стороны <i>CD</i> в точке <i>L</i>. Пусть <i>F</i> – точка пересечения <i>KL</i> и <i>AC</i>. Докажите, что <i>BF</i> ⊥ <i>KL</i>.
Перпендикуляр, восстановленный в вершине<i>C</i>параллелограмма<i>ABCD</i>к прямой<i>CD</i>, пересекает в точке<i>F</i>перпендикуляр, опущенный из вершины<i>A</i>на диагональ<i>BD</i>, а перпендикуляр, восстановленный из точки<i>B</i>к прямой<i>AB</i>, пересекает в точке<i>E</i>серединный перпендикуляр к отрезку<i>AC</i>. В каком отношении отрезок<i>EF</i>делится стороной<i>BC</i>?
Дана окружность с центром <i>O</i> и не лежащая на ней точка <i>P</i>. Пусть <i>X</i> – произвольная точка окружности, <i>Y</i> – точка пересечения биссектрисы угла <i>POX</i> и серединного перпендикуляра к отрезку <i>PX</i>. Найдите геометрическое место точек <i>Y</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены медиана <i>AM</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i> (<i>H</i> лежит между <i>L</i> и <i>B</i>). При этом <i>ML = LH = HB</i>.
Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.
В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.
Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> описана окружность и в точке <i>B</i> проведена касательная к ней. Из точки <i>C</i> проведён перпендикуляр <i>CD</i> к этой касательной, также проведены высоты <i>AE</i> и <i>BF</i>. Докажите, что точки <i>D, E, F</i> лежат на одной прямой.
Есть бумажный квадрат со стороной 2. Можно ли вырезать из него 12-угольник, у которого длины всех сторон равны 1, а все углы кратны 45°?
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. На катете <i>AB</i> во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник <i>ADB</i>, а на гипотенузе <i>AC</i> во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник <i>AEC</i>. Прямые <i>DE</i> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Весь чертёж стерли, оставив только точки <i>A</i> и <i>B</i>. Восстановите точку <i>M</i>.
Вписанная окружность разностороннего треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Окружность с диаметром <i>BC'</i> пересекает вписанную окружность вторично в точке <i>A</i><sub>1</sub>, а биссектрису угла <i>B</i> вторично в точке <i>A</i><sub>2</sub>. Окружность с диаметром <i>AC'</i> пересекает вписанную окружность вторично в точке <i>B</i><sub>1</sub>, а биссектрису угла <i>A</i> вторично в точке <i>B</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямые <i>AB, A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</su...
В треугольнике провели высоту из одной вершины, биссектрису из другой и медиану из третьей, отметили точки их попарного пересечения, а затем всё, кроме этих отмеченных точек, стерли (три отмеченные точки различны, кроме того, известно, какая является чьим пересечением). Восстановите треугольник.
Дан фиксированный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>D</i> – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в <i>D</i>, проходящая через <i>A</i>, пересекает вторично прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>b</sub></i> и <i>A<sub>c</sub></i> соответственно. Аналогично определяются точки <i>B<sub>a</sub>, B<sub>c</sub>, C<sub>a</sub></i> и <i>C<sub>b</sub></i>. Точку <i>D</i> назовём <i>хорошей</i>, если точки <i>A<sub>b</sub>, A<sub>c</sub>, B<sub>a</sub>, B<sub>c</sub>...
Даны окружность, её хорда <i>AB</i> и середина <i>W</i> меньшей дуги <i>AB</i>. На большей дуге <i>AB</i> выбирается произвольная точка <i>C</i>. Касательная к окружности, проведённая из точки <i>C</i>, пересекает касательные, проведённые из точек <i>A</i> и <i>B</i>, в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Прямые <i>WX</i> и <i>WY</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>N</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что длина отрезка <i>NM</i> не зависит от выбора точки <i>C</i>.
Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.
Найдите углы треугольника.
Выпуклый фанерный многоугольник <i>P</i> лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через <i>P</i>, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать <i>P</i> по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.
Девять окружностей расположены вокруг произвольного треугольника так, как показано на рисунке. Окружности, касающиеся одной и той же стороны треугольника, равны между собой. Докажите, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке. (Прямые проходят через вершины треугольника и центры соответствующих окружностей.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64810/problem_64810_img_2.png"></div>
Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC, M, N</i> – середины дуг <i>ABC</i> и <i>BAC</i> описанной окружности. Докажите, что точки <i>M, I, N</i> лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда <i>AC + BC</i> = 3<i>AB</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>B</i> = 60°, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>BL</i> – биссектриса. Описанная окружность треугольника <i>BOL</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> вторично в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>BD</i> ⊥ <i>AC</i>.