а) В неравнобедренном треугольнике биссектриса проходит между медианой и высотой, а высота – между биссектрисой и меньшей из прилежащих сторон. Предположим, что  AB < AC.  Тогда биссектриса угла A пересекает биссектрису угла B в точке, лежащей между K и AC. Через эту точку проходит и биссектриса угла C. Так как она лежит между медианой и меньшей из прилежащих сторон, то  AC < BC.  Значит, AC – средняя по величине из сторон треугольника.

  Пусть теперь  AB > AC.  Рассуждая аналогично снова получим, что сторона AC – средняя по величине.   б) Так как высота из вершины A проходит внутри треугольника, то углы B и C – острые. По теореме синусов стороны треугольника относятся как

sin A : sin B : sin C.  По теореме Чевы     откуда  sin A cos B = sin B cos C   Поскольку

sin A = sin(B + C) = sin B cos C + sin C cos B,  то после несложных преобразований получаем     Поэтому если

∠B < 60°,  то  ∠C < ∠B < 60° < ∠A,  а если  ∠B > 60°,  то ∠C > ∠B > 60° > ∠A.

  В первом случае  ∠KBA < 30° < KAB  и ∠KCB < ½ ∠C < ½ B = ∠KBC,  следовательно,  KA < KB < KC.  Аналогично во втором случае  KA > KB > KC.

а) AC,  б) BK.