Задача
Вписанная окружность разностороннего треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Окружность с диаметром BC' пересекает вписанную окружность вторично в точке A1, а биссектрису угла B вторично в точке A2. Окружность с диаметром AC' пересекает вписанную окружность вторично в точке B1, а биссектрису угла A вторично в точке B2. Докажите, что прямые AB, A1B1, A2B2 пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть I – центр вписанной окружности ω, а J – её точка, диаметрально противоположная C' (см. рис.). Поскольку углы AB1C', C'B1J, BA1C', C'A1J – прямые, точки A1 и B1 – это точки пересечения AJ и BJ с ω. Точки же A2 и B2 – это основания перпендикуляров, опущенных из C' на прямые BI и AI соответственно.
Согласнотеореме Менелая, применённой к треугольникамAIB иAJB, это означает, что прямыеA1B1 иA2B2 пересекаютAB в одной точке (или обе параллельны ей).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь