Пусть в треугольнике ABC вершины квадрата K и L лежат на стороне AB (K между A и L), вершина M на стороне AC и вершина N на стороне BC (очевидно, углы A и B острые). Опустим из центра I вписанной окружности перпендикуляр IH на AB, и пусть отрезок DE проходит через I, параллелен AB и его концы D и E лежат соответственно на AC и BC. Нужно доказать, что  DE > IH  и  H ∈ KL.  Первое следует из того, что  IH = r,  а  DE > 2r  (r – радиус вписанной окружности).

  Продолжим IH за точку I до пересечения с одной из сторон треугольника ABC в некоторой точке F. Пусть для определенности  F ∈ AC.  Тогда H и K лежат по одну сторону от L. Проведём через F прямую, параллельную AB, до пересечения с BC в точке G. Достаточно доказать, что  FG < FH:  тогда H и L лежат по одну сторону от K и потому  I ∈ KL.

  Заметим, что FH больше диаметра вписанной окружности, то есть  FH > 2r.  Поэтому отрезок FG не имеет общих точек с окружностью, значит, точки касания окружности с AC и BC находятся между прямыми FG и AB. Следовательно, соединяющая их хорда больше, чем FG. Но она меньше 2r, то есть  FG < FH.

Ответ задачи отсутствует