Олимпиадные задачи по математике

Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $BC$ отметили точку $D$. Окружности, описанные около треугольников $BOD$ и $COD$, повторно пересекают отрезки $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что из отрезков $BX$, $XY$ и $YC$ можно сложить треугольник.

Даны две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$. На отрезке $O_1O_2$ взяты точки $X$ и $Y$ так, что $O_1Y = O_2X$. Точки $A$ и $B$ лежат на $\omega_1$, и прямая $AB$ проходит через $X$. Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega_2$, и прямая $CD$ проходит через $Y$. Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$.<img width="600" src="/storage/problem-media/67433/problem_67433_img_2.png">

Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 - 3) \times (2 + 5) + 1$. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).

Существует ли такое натуральное $n$, что для любых вещественных чисел $x$ и $y$ найдутся вещественные числа $a_1, \ldots, a_n$, удовлетворяющие равенствам $$x = a_1 + \ldots + a_n\quad \text{и} \quad y = \frac{1}{a_1}+ \ldots + \frac{1}{a_n}?$$

Из центра $O$ описанной окружности Ω треугольника $ABC$ опустили перпендикуляры $OP$ и $OQ$ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине $B$.

Докажите, что прямая $PQ$ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон $CB$ и $AB$.

Дана окружность ω с центром $O$ и две её различные точки $A$ и $C$. Для любой другой точки $P$ на ω отметим середины $X$ и $Y$ отрезков $AP$ и $CP$ и построим точку $H$ пересечения высот треугольника $OXY$. Докажите, что положение точки $H$ не зависит от выбора точки $P$.

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть ω_<i>A</i>, ω_<i>B</i>, ω_<i>C</i>, ω_<i>D</i> – описанные окружности треугольников <i>BCD, ACD, ABD, ABC</i> соответственно. Обозначим через <i>X_A</i> произведение степени точки <i>A</i> относительно ω<i>A</i> на площадь треугольника <i>BCD</i>. Аналогично определим <i>X_B, X_C, X_D</i>. Докажите, что  <i>X_A + X_B + X_C + X_D</i> = 0.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>H</i> и <i>O</i> – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>BH</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>OB</i> – биссектриса угла <i>A</i>₁<i>OC</i>₁.

Пусть <i>H</i> – ортоцентр остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>BH</i> пересекает стороны <i>BA, BC</i> в точках <i>A</i>₀, <i>C</i>₀ соответственно. Докажите, что периметр треугольника <i>A</i>₀<i>OC</i>₀ (<i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>) равен <i>AC</i>.

Пусть <i>H</i> и <i>O</i> – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOH</i>, пересекает серединный перпендикуляр к <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

Дан фиксированный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>D</i> – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в <i>D</i>, проходящая через <i>A</i>, пересекает вторично прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A_b</i> и <i>A_c</i> соответственно. Аналогично определяются точки <i>B_a, B_c, C_a</i> и <i>C_b</i>. Точку <i>D</i> назовём <i>хорошей</i>, если точки <i>A_b, A_c, B_a, B_c...

Через вершину <i>B</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая <i>l</i>. Окружность ω_<i>a</i> с центром <i>I_a</i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Окружность ω_<i>c</i> с центром <i>I_c</i> касается стороны <i>BA</i> в точке <i>C</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ лежит на прямой <i>I<sub&g...