Очевидно, что центр O описанной окружности Ω треугольника ABC – хорошая точка, поскольку в этом случае  B_a = C_a = A,  A_b = C_b = B  и

A_c = B_c = C.

  Рассмотрим теперь любую хорошую точку D, отличную от O. Пусть A', B', C' – проекции D на BC, CA, AB соответственно. Точки A и A_b симметричны относительно C', так же как и точки B и B_a. Значит, середины отрезков AB и A_bB_a также симметричны относительно C'; следовательно, серединный перпендикуляр к A_bB_a проходит через точку O', симметричную O относительно D (рис. слева). Аналогично, серединные перпендикуляры к A_cC_a и B_cC_b также проходят через O', при этом они не параллельны; значит, O' и является центром окружности, проходящей через шесть точек. Заметим, что O' также не совпадает с D.

  Каждая из точекD иO' равноудалена отA_b иA_c. Значит, прямаяDO' является серединным перпендикуляром кA_bA_c. НоB'C' – средняя линия в треугольникеAA_bA_c, следовательно,  DO'⊥B'C'.  Аналогично,  DO'⊥A'B',  то есть точкиA', B' иC' лежат на одной прямой. Значит,D лежит на Ω, аA'B'C' – еёпрямая Симсона(см. задачу156934). Кроме того, эта прямая перпендикулярна прямойDO', то есть радиусуDO (рис. справа).   Наоборот, пусть точкаD окружности Ω такова, что её прямая Симсона перпендикулярнаOD. Обращая рассуждения предыдущих двух абзацев, получаем, что точкаO' лежит на серединных перпендикулярах к отрезкамA_bB_a, B_cC_b, A_cC_a, A_bA_c, B_aB_c иC_aC_b, то есть все шесть точек равноудалены отO'. Значит, точкаD – хорошая.   Найдём теперь количество хороших точек. Пусть точкаX движется по Ω с постоянной угловой скоростью. Как известно (см.задачу156941), прямая Симсона точкиX вращается со вдвое меньшей угловой скоростью в противоположном направлении. Значит, угол между радиусомOX и этой прямой меняется с полуторной скоростью, поэтому на описанной окружности существуют три хороших точки. Добавляя центрO, получаем, что хороших точек не больше четырёх.   Осталось учесть, что некоторые из этих точек могут совпасть с вершинами. Поскольку прямая Симсона вершиныA – это высота, опущенная из неё, такое происходит, если радиусOA параллеленBC, то есть если  |∠B– ∠C| = 90°.  Это может произойти и с двумя вершинами – в треугольнике с углами 30°, 30° и 120°.

2, 3 или 4.