Олимпиадные задачи по математике
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB', CC'</i>. Через <i>A</i> и <i>C'</i> проведены две окружности, касающиеся <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>.
Докажите, что точки <i>A, B', P, Q</i> лежат на одной окружности.
В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – середина стороны <i>BC, P</i> – точка пересечения касательных в точках <i>B</i> и <i>C</i> к описанной окружности, <i>N</i> – середина отрезка <i>MP</i>. Отрезок <i>AN</i> пересекает описанную окружность в точке <i>Q</i>. Докажите, что ∠<i>PMQ</i> = ∠<i>MAQ</i>.
Дан фиксированный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>D</i> – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в <i>D</i>, проходящая через <i>A</i>, пересекает вторично прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>b</sub></i> и <i>A<sub>c</sub></i> соответственно. Аналогично определяются точки <i>B<sub>a</sub>, B<sub>c</sub>, C<sub>a</sub></i> и <i>C<sub>b</sub></i>. Точку <i>D</i> назовём <i>хорошей</i>, если точки <i>A<sub>b</sub>, A<sub>c</sub>, B<sub>a</sub>, B<sub>c</sub>...
В прямоугольнике <i>ABCD</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>CD</i>. Через точку <i>C</i> провели прямую, перпендикулярную прямой <i>BM</i>, а через точку <i>M</i> – прямую, перпендикулярную диагонали <i>BD</i>. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой <i>AD</i>.