Олимпиадные задачи по математике
Вписанная в треугольник <i>ABC</i> окружность ω касается сторон<i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Пусть <i>P</i> – произвольная точка на большей дуге <i>DE</i> окружности ω, <i>F</i> – точка, симметричная точке <i>A</i> относительно прямой <i>DP, M</i> – середина отрезка <i>DE</i>. Докажите, что угол <i>FMP</i> – прямой.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а также пересекает сторону <i>BC</i>. Касательная <i>CL</i> к окружности ω такова, что отрезок <i>KL</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>T</i>. Докажите, что отрезок <i>BT</i> равен по длине касательной, проведённой из точки <i>B</i> к ω.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> вписанная окружность ω касается сторон <i>BC</i> и <i>DA</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>AB, FE</i> и <i>CD</i> пересекаются в одной точке <i>S</i>. Описанные окружности Ω и Ω<sub>1</sub> треугольников <i>AED</i> и <i>BFC</i>, вторично пересекают окружность ω в точках <i>E</i><sub>1</sub> и <i>F</i><sub>1</sub>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>E</i><sub>1</sub><i>F</i><sub>1</sub> параллельны.
Даны окружность, её хорда <i>AB</i> и середина <i>W</i> меньшей дуги <i>AB</i>. На большей дуге <i>AB</i> выбирается произвольная точка <i>C</i>. Касательная к окружности, проведённая из точки <i>C</i>, пересекает касательные, проведённые из точек <i>A</i> и <i>B</i>, в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Прямые <i>WX</i> и <i>WY</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>N</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что длина отрезка <i>NM</i> не зависит от выбора точки <i>C</i>.