Олимпиадные задачи из источника «Окружная олимпиада (Москва)» для 11 класса - сложность 2 с решениями

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина <i>N</i> ребра <i>B</i>₁<i>C</i>₁ верхней грани <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ соединена с серединой <i>M</i> ребра <i>AB</i> нижней грани <i>ABCD</i>. Прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i> не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i> на прямую <i>MN</i> равн...

В десятичной записи некоторого числа цифры расположены слева направо в порядке убывания. Может ли это число быть кратным числу 111?

Точка <i>Х</i> расположена на диаметре <i>АВ</i> окружности радиуса <i>R</i>. Точки <i>K</i> и <i>N</i> лежат на окружности в одной полуплоскости относительно <i>АВ</i>,

а  ∠<i>KXA</i> = ∠<i>NXB</i> = 60°.  Найдите длину отрезка <i>KN</i>.

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) такова, что для всех значений <i>x</i> выполняется равенство  <i>f</i>(<i>x</i> + 1) = <i>f</i>(<i>x</i>) + 2<i>x</i> + 3.  Известно, что  <i>f</i>(0) = 1.  Найдите <i>f</i>(2012).

Туристическая фирма провела акцию: "Купи путевку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно". За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по четыре новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?

Какое наименьшее количество клеток требуется отметить на шахматной доске, чтобы каждая клетка доски (отмеченная или неотмеченная) граничила по стороне хотя бы с одной отмеченной клеткой?

Известно, что <i>A</i> – наибольшее из чисел, являющихся произведением нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 2011.

На какую наибольшую степень тройки делится число <i>A</i>?

Две окружности касаются внешним образом. <i>A</i> – точка касания их общей внешней касательной с одной из окружностей, <i>B</i> – точка той же окружности, диаметрально противоположная точке <i>A</i>. Докажите, что длина касательной, проведённой из точки <i>B</i> ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.

Длина ребра правильного тетраэдра равна <i>a</i>. Через одну из вершин тетраэдра проведено треугольное сечение.

Докажите, что периметр <i>P</i> этого треугольника удовлетворяет неравенству  <i>P</i> > 2<i>a</i>.

Докажите, что уравнение  <i>l</i>² + <i>m</i>² = <i>n</i>² + 3  имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Прямая пересекает график функции  <i>y = x</i>²  в точках с абсциссами <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i>₃. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .

Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, график которой пересекает оси координат в вершинах прямоугольного треугольника.

В футбольном турнире участвовало 20 команд (каждая сыграла с каждой из остальных по одному матчу). Могло ли в результате оказаться так, что каждая из команд-участниц выиграла столько же матчей, сколько сыграла вничью?

При каких значениях <i>c</i> числа  sin α  и  cos α  являются корнями квадратного уравнения  5<i>x</i>² – 3<i>x + c</i> = 0  (α – некоторый угол)?

В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?

Найдите все положительные корни уравнения  <i>x^x + x</i>^1–<i>x</i> = <i>x</i> + 1.

Точки <i>А</i>₁ и <i>А</i>₃ расположены по одну сторону от плоскости α, а точки <i>А</i>₂ и <i>А</i>₄ – по другую сторону. Пусть <i>В</i>₁, <i>В</i>₂, <i>В</i>₃ и <i>В</i>₄ – точки пересечения отрезков <i>А</i>₁А₂, <i>А</i>₂<i>А</i>₃, <i>А</i>₃<i>А</i>₄ и <i>А</i>₄<i>А</i>&l...

На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.

Можно ли подобрать такие числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, чтобы это были графики трёхчленов  <i>ax</i>² + <i>bx + c,  bx</i>² + <i>cx + a</i>  и  <i>cx</i>² + <i>ax + b</i>? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109457/problem_109457_img_2.gif"></div>

Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.

Что больше:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_2.gif">   или   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_3.gif"> ?

В кубе <i>АВСDА</i>₁<i>В</i>₁<i>С</i>₁<i>D</i>₁ площадь ортогональной проекции грани <i>АА</i>₁<i>В</i>₁<i>В</i> на плоскость, перпендикулярную диагонали <i>АС</i>₁, равна 1.

Найдите площадь ортогональной проекции куба на эту плоскость.

Даны квадратные трёхчлены  <i>f</i> и <i>g</i> с одинаковыми старшими коэффициентами. Известно, что сумма четырёх корней этих трёхчленов

равна <i>р</i>. Найдите сумму корней трёхчлена  <i>f + g</i>, если известно, что он имеет два корня.

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех действительных чисел, причем для любого x выполняются равенства  <i>f</i>(<i>x</i> + 2) = <i>f</i>(2 – <i>x</i>)  и  <i>f</i>(<i>x</i> + 7) = <i>f</i>(7 – <i>x</i>).

Докажите, что  <i>f</i>(<i>x</i>) – периодическая функция.

Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность.

Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?

Вася вписал в клетки таблицы 4×18 натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. Сначала он нашел произведение чисел, стоящих в каждом столбце, а затем у каждого из 18 полученных произведений вычислил сумму цифр. Могли ли все получившиеся суммы оказаться одинаковыми?