Заметим, что в правильном двадцатиугольнике вершины, взятые через одну, образуют правильный десятиугольник, а вершины этого десятиугольника, взятые через одну, образуют правильный пятиугольник. Достаточно сравнить две величины:    и   ,   где a₂₀ и a₅ – длины сторон правильных двадцатиугольника и пятиугольника соответственно. Докажем, что   ,   то есть сумма квадратов сторон пятиугольника больше.   Первый способ. Рассмотрим соответствующий фрагмент и введём обозначения вершин так, как показано на рисунке. Заметим, что при  n > 4  угол правильного n-угольника – тупой. Рассмотрим треугольник А₁А₂А₃ с тупым углом А₂. По следствию из теоремы косинусов     Аналогично из треугольника А₁А₃А₅ получим, что    Таким образом,   .

Сумма квадратов длин сторон правильного пятиугольника.