Олимпиадные задачи из источника «2013 год»

На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает две остальные (возможно, в концах)?

Дана правильная треугольная пирамида <i>SABC</i>, ребро основания которой равно 1. Из вершин <i>A</i> и <i>B</i> основания <i>ABC</i> проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек. Известно, что на прямых, содержащих эти медианы, лежат рёбра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

На экране компьютера – число 12. Каждую секунду число на экране умножают или делят либо на 2, либо на 3. Результат действия возникает на экране вместо записанного числа. Ровно через минуту на экране появилось число. Могло ли это быть число 54?

Для квадратного трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) и некоторых действительных чисел <i>l, t</i> и <i>v</i> выполнены равенства:  <i>f</i>(<i>l</i>) = <i>t + v</i>,  <i>f</i>(<i>t</i>) = <i>l + v</i>,  <i>f</i>(<i>v</i>) = <i>l + t</i>.

Докажите, что среди чисел <i>l, t</i> и <i>v</i> есть равные.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 75°, а угол <i>B</i> равен 60°. Вершина <i>M</i> равнобедренного прямоугольного треугольника <i>BCM</i> с гипотенузой <i>BC</i> расположена внутри треугольника <i>ABC</i>. Найдите угол <i>MAC</i>.

Сережа и Миша, гуляя по парку, набрели на поляну, окруженную липами. Сережа пошёл вокруг поляны, считая деревья. Миша сделал то же самое, но начал с другого дерева (хотя пошёл в ту же сторону). Дерево, которое у Сережи было 20-м, у Миши было 7-м, а дерево, которое у Сережи было 7-м, у Миши было 94-м. Сколько деревьев росло вокруг поляны?

В клетки таблицы размером 9×9 расставили все натуральные числа от 1 до 81. Вычислили произведения чисел в каждой строке таблицы и получили набор из девяти чисел. Затем вычислили произведения чисел в каждом столбце таблицы и также получили набор из девяти чисел.

Могли ли полученные наборы оказаться одинаковыми?

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>, а на стороне <i>AC</i> – точка <i>M</i>. Отрезки <i>BM</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Оказалось, что углы <i>APB, BPC</i> и <i>CPA</i> равны по 120°, а площадь четырёхугольника <i>AKPM</i> равна площади треугольника <i>BPC</i>. Найдите угол <i>BAC</i>.

Найдите наибольшее значение выражения  <i>a + b + c + d – ab – bc – cd – da</i>,  если каждое из чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> принадлежит отрезку  [0, 1].

Точка <i>F</i> – середина стороны <i>BC</i> квадрата <i>ABCD</i>. К отрезку <i>DF</i> проведён перпендикуляр <i>AE</i>. Найдите угол <i>CEF</i>.

Корни квадратного трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>bx + c</i>  равны <i>m</i>₁ и <i>m</i>₂, а корни квадратного трёхчлена  <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i>  равны <i>k</i>₁ и <i>k</i>₂.

Докажите, что  <i>f</i>(<i>k</i>₁) + <i>f</i>(<i>k</i>₂) + <i>g</i>(<i>m</i>₁) + <i>g</i>(<i>m</i>₂) ≥ 0.

Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13.

Найдите 2013-й член последовательности.

Двадцать пять монет раскладывают по кучкам следующим образом. Сначала их произвольно разбивают на две группы. Затем любую из имеющихся групп снова разбивают на две группы, и так далее до тех пор, пока каждая группа не будет состоять из одной монеты. При каждом разбиении какой-либо группы на две записывается произведение количеств монет в двух получившихся группах. Чему может быть равна сумма всех записанных чисел?

Высоты <i>AD</i> и <i>BE</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Описанная окружность треугольника <i>ABH</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>F</i> и <i>G</i> соответственно. Найдите <i>FG</i>, если  <i>DE</i> = 5 см.

В квадратной таблице размером 100×100 некоторые клетки закрашены. Каждая закрашенная клетка является единственной закрашенной клеткой либо в своем столбце, либо в своей строке. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?

В равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  вписана окружность с центром <i>O</i>, которая касается стороны <i>AB</i> в точке <i>E</i>. На продолжении стороны <i>AC</i> за точку <i>A</i> выбрана точка <i>D</i> так, что  <i>AD</i> = ½ <i>AC</i>. Докажите, что прямые <i>DE</i> и <i>AO</i> параллельны.

На рисунке изображен график функции  <i>y = x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что прямая <i>AB</i> перпендикулярна прямой  <i>y = x</i>.

Найдите длину отрезка <i>OC</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64540/problem_64540_img_2.png"></div>

На доске записано несколько последовательных натуральных чисел. Ровно 52% из них – чётные. Сколько чётных чисел записано на доске?

Саша начертил квадрат размером 6×6 клеток и поочередно закрашивает в нём по одной клетке. Закрасив очередную клетку, он записывает в ней число – количество закрашенных клеток, соседних с ней. Закрасив весь квадрат, Саша складывает числа, записанные во всех клетках. Докажите, что в каком бы порядке Саша ни красил клетки, у него в итоге получится одна и та же сумма. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что  ∠<i>BAM</i> = ∠<i>CKM</i> = 30°.  Найдите ∠<i>AKD</i>.

На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске оказались три числа, наименьшее из которых было 2013. Каковы были два остальных числа?

В параллелограмме <i>ABCD</i> из вершины тупого угла <i>B</i> проведены высоты <i>BM</i> и <i>BN</i>, а из вершины <i>D</i> – высоты <i>DP</i> и <i>DQ</i>.

Докажите, что точки <i>M, N, P</i> и <i>Q</i> являются вершинами прямоугольника.

Про различные числа <i>a</i> и <i>b</i> известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64534/problem_64534_img_2.gif"> . Найдите  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64534/problem_64534_img_3.gif">.

В записи   * + * + * + * + * + * + * + * = **  замените звёздочки различными цифрами так, чтобы равенство было верным.

В сумме  + 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729  можно вычеркивать любые слагаемые и изменять некоторые знаки перед оставшимися числами с "+" на "–". Маша хочет таким способом сначала получить выражение, значение которого равно 1, затем, начав сначала, получить выражение, значение которого равно 2, затем (снова начав сначала) получить 3, и так далее. До какого наибольшего целого числа ей удастся это сделать без пропусков?