Олимпиадные задачи из источника «2008 год»

Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111574/problem_111574_img_2.gif"></div>

Прямоугольный лист бумаги <i>ABCD</i> согнули так, как показано на рисунке. Найдите отношение  <i>DK : AB</i>,  если <i>C</i>₁ – середина <i>AD</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111573/problem_111573_img_2.gif"></div>

В каждой клетке шахматной доски сидят по два таракана. В некоторый момент времени каждый таракан переползает на соседнюю (по стороне) клетку, причём тараканы, сидевшие в одной клетке, переползают в разные клетки. Какое наибольшее количество клеток доски может после этого остаться свободным?

Докажите, что если<i> α </i>,<i> β </i>и<i> γ </i>– углы остроугольного треугольника, то<i> sinα + sinβ + sinγ > </i>2.

В треугольнике<i> ABC </i>точка<i> D </i>– середина стороны<i> AB </i>. Можно ли так расположить точки<i> E </i>и<i> F </i>на сторонах<i> AC </i>и<i> BC </i>соответственно, чтобы площадь треугольника<i> DEF </i>оказалась больше суммы площадей треугольников<i> AED </i>и<i> BFD </i>?

Непрерывная функция<i> f</i>(<i>x</i>)такова, что для всех действительных<i> x </i>выполняется неравенство:<i> f</i>(<i>x²</i>)<i>-</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>²<img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_3.gif"> </i>. Верно ли, что функция<i> f</i>(<i>x</i>)обязательно имеет точки экстремума?

Найдите угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если известно, что существуют три образующие боковой поверхности конуса, попарно перпендикулярные друг другу.

В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?

Найдите все положительные корни уравнения  <i>x^x + x</i>^1–<i>x</i> = <i>x</i> + 1.

Клетчатая прямоугольная сетка <i>m</i>×<i>n</i> связана из верёвочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную верёвочку. Если не останется ни одного замкнутого верёвочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

Произведение положительных чисел <i>х, у</i> и <i>z</i> равно 1. Докажите, что  (2 + <i>х</i>)(2 + <i>у</i>)(2 + <i>z</i>) ≥ 27.

Точки <i>А</i>₁ и <i>А</i>₃ расположены по одну сторону от плоскости α, а точки <i>А</i>₂ и <i>А</i>₄ – по другую сторону. Пусть <i>В</i>₁, <i>В</i>₂, <i>В</i>₃ и <i>В</i>₄ – точки пересечения отрезков <i>А</i>₁А₂, <i>А</i>₂<i>А</i>₃, <i>А</i>₃<i>А</i>₄ и <i>А</i>₄<i>А</i>&l...

Петя играет в игру-стрелялку. Если он наберёт менее 1000 очков, то компьютер добавит ему 20% от его результата. Если он наберёт от 1000 до 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков и 30% от оставшегося количества очков. Если Петя наберёт более 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков, 30% от второй тысячи и 50% от оставшегося количества. Сколько призовых очков получил Петя, если по окончании игры у него было 2370 очков?

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов чётно. Один из столбов покрашен в жёлтый цвет, другой – в синий, а остальные – в белый. Назовем расстоянием между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до жёлтого, если сумма растояний от синего столба до белых равна 2008 км.

В таблицу 4×4 записали натуральные числа. Могло ли оказаться так, что сумма чисел в каждой следующей строке на 2 больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом следующем столбце на 3 больше, чем в предыдущем?

Высоты остроугольного треугольника <i>ABC</i>, проведенные из точек <i>B</i> и <i>C</i>, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Оказалось, что отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол <i>BAC</i>.

Существуют ли числа такие <i>p</i> и <i>q</i>, что уравнения  <i>x</i>² + (<i>p</i> – 1)<i>x + q</i> = 0  и  <i>x</i>² + (<i>p</i> + 1)<i>x + q</i> = 0  имеют по два различных корня, а уравнение

<i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  не имеет корней?

Пройдя ⁴/₉ длины моста, пешеход заметил, что его догоняет машина, еще не въехавшая на мост. Тогда он повернул назад и встретился с ней у начала моста. Если бы он продолжил свое движение, то машина догнала бы его у конца моста. Найдите отношение скоростей машины и пешехода.

Шестнадцать футбольных команд из шестнадцати стран провели турнир – каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному матчу.

Могло ли оказаться так, что каждая команда сыграла во всех странах, кроме своей родины?

В 8 "Г" классе хватает двоечников, но Вовочка учится хуже всех. Педсовет решил, что либо Вовочка должен к концу четверти исправить двойки, либо его исключат. Если Вовочка исправит двойки, то в классе будет 24% двоечников, а если его выгонят, то двоечников станет 25%. Какой процент двоечников в 8 "Г" сейчас?

Обозначим две какие-нибудь цифры буквами<i> А </i>и<i> Х </i>. Докажите, что шестизначное число<i> ХАХАХА </i>делится на 7 без остатка.

Про числа<i> a </i>и<i> b </i>известно, что<i> a=b+</i>1. Может ли оказаться так, что<i> a⁴=b⁴ </i>?

Можно ли в кружочки на пятиконечной звезде (см. рисунок) расставить4единицы,3двойки и3тройки так, чтобы суммы четырех чисел, стоящих на каждой из пяти прямых, были равны?

<center><i> <img src="/storage/problem-media/111243/problem_111243_img_2.gif"> </i></center>

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AC</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>E</i> так, что  <i>AD = DE = EC</i>. Может ли оказаться, что  ∠<i>ABD</i> = ∠<i>DBE</i> = ∠<i>EBC</i>?