Олимпиадные задачи из источника «2015 год»
Каждая клетка таблицы размером 7×8 (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем жёлтых, и не меньше, чем зелёных, а в каждом столбце жёлтых клеток не меньше, чем красных, и не меньше, чем зелёных. Сколько зелёных клеток может быть в такой таблице?
Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?
Решите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65525/problem_65525_img_2.gif">.
В квадрате <i>ABCD</i> точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Отрезки <i>AE</i> и <i>BF</i> пересекаются в точке <i>G</i>.
Что больше: площадь треугольника <i>AGF</i> или площадь четырёхугольника <i>GECF</i>?
Существуют ли такие целые числа <i>p</i> и <i>q</i>, что при любых целых значениях <i>x</i> выражение <i>x</i><sup>2</sup> + <i>px + q</i> кратно 3?
Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, большее 1, что значение выражения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65522/problem_65522_img_2.gif"> является натуральным числом?
Через точку <i>P</i> проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника <i>ABC</i> (см. рисунок).
Докажите, что площади треугольников <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65521/problem_65521_img_2.png"></div>
В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?
Даны три квадратных трёхчлена: <i>x</i>² + <i>b</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>c</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + <i>b</i><sub>2</sub><i>x</i> + <i>c</i><sub>2</sub> и <i>x</i>² + ½ (<i>b</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>2</sub>)<i>x</i> + ½ (<i>c</i><sub>1</sub> + <i>c</i><sub>2</sub>). Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).
В остроугольном треугольнике <i>MKN</i> проведена биссектриса <i>KL</i>. Точка <i>X</i> на стороне <i>MK</i> такова, что <i>KX = KN</i>. Докажите, что прямые <i>KO</i> и <i>XL</i> перпендикулярны (<i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>MKN</i>).
Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?
В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65516/problem_65516_img_2.png"></div>
В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, ..., 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири – целое число килограммов?
Квадрат <i>ABCD</i> и равнобедренный прямоугольный треугольник <i>AEF</i> (∠<i>AEF</i> = 90°) расположены так, что точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>BC</i> (см. рисунок). Найдите угол <i>DCF</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65514/problem_65514_img_2.png"></div>
Из Златоуста в Миасс выехали одновременно "ГАЗ", "МАЗ" и "КамАЗ". "КамАЗ", доехав до Миасса, сразу повернул назад и встретил "МАЗ" в 18 км, а "ГАЗ" – в 25 км от Миасса. "МАЗ", доехав до Миасса, также сразу повернул назад и встретил "ГАЗ" в 8 км от Миасса. Каково расстояние от Златоуста до Миасса?
В треугольник <i>ABC</i> вписана окружность с центром <i>O</i>. На стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>P</i>, а на продолжении стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i> – точка <i>Q</i> так, что отрезок <i>PQ</i> касается окружности. Докажите, что ∠<i>BOP</i> = ∠<i>COQ</i>.
Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных натуральных чисел отличаться ровно в 54 раза?
Известно, что <i>a</i>² + <i>b = b</i>² + <i>c = c</i>² + <i>a</i>. Какие значения может принимать выражение <i>a</i>(<i>a</i>² – <i>b</i>²) + <i>b</i>(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>c</i>(<i>c</i>² – <i>a</i>²)?
Внутри равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечена произвольная точка <i>M</i>. Докажите, что можно выбрать на стороне <i>AB</i> точку <i>C</i><sub>1</sub>, на стороне <i>BC</i> – точку <i>A</i><sub>1</sub>, а на стороне <i>AC</i> – точку <i>B</i><sub>1</sub> таким образом, чтобы длины сторон треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> были равны отрезкам <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>.
В каждой клетке таблицы размером 13×13 записано одно из натуральных чисел от 1 до 25. Клетку назовём <i>хорошей</i>, если среди двадцати пяти чисел, записанных в ней и во всех клетках одной с ней горизонтали и одной с ней вертикали, нет одинаковых. Могут ли все клетки одной из главных диагоналей оказаться хорошими?
Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встаёт и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?
<i>ABCD</i> – выпуклый четырёхугольник. Известно, что ∠<i>CAD</i> = ∠<i>DBA</i> = 40°, ∠<i>CAB</i> = 60°, ∠<i>CBD</i> = 20°. Найдите угол <i>CDB</i>.
Сорока-ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвёртому – столько же, сколько второму и третьему. Пятому – столько же, сколько третьему и четвёртому. Шестому – столько же, сколько четвёртому и пятому. А седьмому не досталось – каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г каши. Сколько каши сварила сорока-ворона?
Натуральное число <i>n</i> называется <i>хорошим</i>, если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на <i>n</i>. Запишите десять хороших чисел, которые меньше чем 1000.
У учеников 5А класса было в сумме 2015 карандашей. Один из них потерял коробку с пятью карандашами, а вместо неё купил коробку, в которой 50 карандашей. Сколько теперь карандашей у учеников 5А класса?