Олимпиадная задача по последовательностям для 10-11 классов: найти f(2012)

f(x + 1) – f(x) = 2x + 3.  Подставим вместо x числа  0, 1, 2, ..., 2011:  f(1) – f(0) = 2·0 + 3,  f(2) – f(1) = 2·1 + 3,  ...,  f(2012) – f(2011) = 2·2011 + 3.  Сложив эти равенства почленно, получим  f(2012) – f(0) = 2·(1 + 2 + ... + 2011) + 3·2012 = 2012·2011 + 3·2012.  Значит,  f(2012) = 1 + 2·2012 + 2012² = 2013².

4052169 = 2013².