Олимпиадная задача по планиметрии и стереометрии: проекции куба для 10-11 классов

  Первый способ. Выберем плоскость проекции так, чтобы она проходила через центр куба. Сечением куба этой плоскостью является правильный шестиугольник MNKLPQ (рис. слева). Проекцией куба на эту плоскость является шестиугольник A'₁B₁B'C'D'D'₁ (рис. в центре), вершины которого являются центрами правильных треугольников, построенных на сторонах шестиугольника MNKLPQ, поэтому полученный шестиугольник также является правильным, причём вершины A и C₁ куба проектируются в его центр. Проекцией грани АА₁В₁В является параллелограмм A'A'₁B'₁B'. Его площадь в три раза меньше площади проекции куба.

  Второй способ. Грани A₁B₁C₁D₁, BCC₁B₁ и CDD₁C₁ образуют одинаковый угол с диагональю AC₁ (рис. слева), поэтому они образуют равные углы и с плоскостью, перпендикулярной этой диагонали. Тогда проекции этих граней на плоскость, перпендикулярную диагонали AC₁, равны. Таким образом, проекция куба выглядит так, как показано на рисунке справа, следовательно, её площадь равна 3.