Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 10 класса - сложность 2-4 с решениями

Озеро имеет форму невыпуклого<nobr><i>n</i>-угольника.</nobr>Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого<nobr><i>m</i>-угольника,</nobr>где<nobr><i>m</i>≤<i>n</i>.</nobr>

Для каждого непрямоугольного треугольника <i>T</i> обозначим через <i>T</i>₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>; через <i>T</i>₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>₁; аналогично определим треугольники <i>T</i>₃, <i>T</i>₄ и так далее. Каким должен быть треугольник <i>T</i>, чтобы

  а) треугольник <i>T</i>₁ был остроугольным?

  б) в последовательности <i>T</i>₁, <i>T</i>₂, <i>T</i&gt...

Пусть <i>a</i> – заданное вещественное число, <i>n</i> – натуральное число,  <i>n</i> > 1.

Найдите все такие <i>x</i>, что сумма корней <i>n</i>-й степени из чисел  <i>xⁿ – aⁿ</i>  и  2<i>aⁿ – xⁿ</i>  равна числу <i>a</i>.

Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>k ≤ n</i>.  Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была  а) наименьшей;  б) наибольшей.

В любой арифметической прогрессии  <i>a,  a + d,  a</i> + 2<i>d,  ...,  a + nd</i>,  ...,  составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше &frac25; общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше &frac25;. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше ⁴/₇ общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе. б) Пусть в <i>k</i>-м походе, где  1 ≤ <i>k ≤ n</i>,  мальчики составляли α_<i>k</i>-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из <i>n</i> походов)?

На окружности расположено множество<nobr><i>F</i> точек,</nobr>состоящее из<nobr>100 дуг.</nobr>При любом<nobr>повороте <i>R</i></nobr>окружности множество<i>R</i>(<i>F</i>) имеет хотя бы одну общую точку с<nobr>множеством <i>F</i>.</nobr><span class="prim">(Другими словами, для любого <nobr>угла α</nobr> <nobr>от 0°</nobr> <nobr>до 180°</nobr> в <nobr>множестве <i>F</i></nobr> можно указать две точки, отстоящие одна от другой на <nobr>угол α.)</nobr></span>Какую наименьшую сумму длин могут иметь<nobr>100 дуг,</nobr>образующих<nobr>множество <i>F</i>?</nobr&g...

На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке <i>n</i>-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (<i>n</i>+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73699/problem_73699_img_2.gif"> </div>

Последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>_<i>n</i> < ...  такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность, либо представимо в виде суммы двух членов последовательности, быть может, одинаковых. Докажите, что  <i>a</i>_<i>n</i> ≤ <i>n</i>²  для любого  <i>n</i> = 1, 2, 3, ...

Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)

Сумма <i>n</i> положительных чисел  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, ..., <i>x_n</i>  равна 1.

Пусть <i>S</i> – наибольшее из чисел   <img align="middle" src="/storage/problem-media/73692/problem_73692_img_2.gif">

Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. При каких значениях  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  оно достигается?

Пусть <i>a, b, m, n</i> – натуральные числа, причём числа <i>a</i> и <i>b</i> взаимно просты и  <i>a</i> > 1.

Докажите, что если  <i>a^m + b^m</i>  делится на  <i>aⁿ + bⁿ</i>,  то <i>m</i> делится на <i>n</i>.

<i>P</i> и <i>Q</i> – подмножества множества выражений вида  (<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>),  где <i>a_i</i> – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа <i>k</i> (таких выражений всего <i>kⁿ</i>). Для каждого элемента  (<i>p</i>₁, ..., <i>p_n</i>)  множества <i>P</i> и каждого элемента  (<i>q</i>₁, ..., <i>q_n</i>)  множества <i>Q</i> существует хотя бы один такой номер <i>m</i>, что...

Последовательность  <i>x</i>₀, <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ...  определена следующими условиями:  <i>x</i>₀ = 1,  <i>x</i>₁ = λ,  для любого  <i>n</i> > 1  выполнено равенство <div align="center">(α + β)<i>ⁿx_n</i> = α<i>ⁿx_nx</i>₀ + α^<i>n</i>–1β<i>x</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>₁ + α^<i>n</i>–2β<sup>2</sup&gt...

а) В вершинах правильного семиугольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета,

лежащие в вершинах равнобедренного треугольника. б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольника? в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников аналогичное верно, а для каких – нет.

Хозяин обещает работнику платить в среднем   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_2.gif">   рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального <i>n</i> выплаченная за первые <i>n</i> дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_3.gif">   Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.

а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:А) приписать на конце <nobr>цифру 4;</nobr> Б) приписать на конце <nobr>цифру 0;</nobr> В) разделить на 2 (если число чётно). Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А <nobr>и Б,</nobr> то получим <nobr>число 140.</nobr> а) Из числа 4 получите <nobr>число 1972.</nobr> б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>m</i> < <i>n</i>.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73673/problem_73673_img_2.gif">

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<nobr><i>d</i> —</nobr>длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника,<nobr><i>S</i> —</nobr>его площадь. Докажите неравенства:а) <i>S</i> <font face="Symbol">≤</font> <i>ab</i> + <i>cd</i>; б) <i>S</i> <font face="Symbol">≤</font> <i>ac</i> + <i>bd</i>. в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.

Для каждого натурального  <i>n</i> > 1  существует такое число <i>c_n</i>, что для любого <i>x</i> произведение синуса числа <i>x</i>, синуса числа  <i>x</i> + ^π/_<i>n</i>,  синуса числа

<i>x</i> + ^2π/_<i>n</i>,  ..., наконец, синуса числа  <i>x</i> + ^{(<i>n</i> – 1)π}/_<i>n</i>  равно произведению числа <i>c_n</i> на синус числа <i>nx</i>. Докажите это и найдите величину <i>c_n</i>.

<div class="catalogueproblemauthor">Автор: Л.Г.Макаров</div>Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах<i>АВ</i>,<i>ВС</i><nobr>и <i>АС</i></nobr>данного<nobr>треугольника <i>АВС</i>?</nobr>

Один из простейших многоклеточных<nobr>организмов —</nobr>водоросль<nobr>вольвокс —</nobr>представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток<nobr>на 12</nobr>больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

  а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.

  б) Решите общую задачу: при каких <i>a</i> и <i>b</i> можно разделить пополам  <i>a + b</i>  литров молока, пользуясь лишь сосудами в <i>a</i> литров, <i>b</i> литров и  <i>a + b</i>  литров? За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.

Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через  <i>s</i>(<i>n</i>)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число <i>m</i> особым, если его нельзя представить в виде  <i>m = n + s</i>(<i>n</i>).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + <i>s</i>(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?