Олимпиадные задачи из источника «выпуск 11»

  а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на <i>m</i> равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на <i>m</i>² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить <i>N</i> вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин <i>A</i> и <i>B</i> отрезок <i>АВ</i> не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение <i>N</i> (при заданном <i>m</i>)?   б) Разделим каждое ребро тетраэдра на <i>m</i> равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим <i>N</i> вершин так, чтобы никакие...

В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи одной только линейки постройте отрезок, длина которого равна  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73706/problem_73706_img_2.gif">

Докажите, что при любом простом  <i>p</i>   <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif">   делится на <i>p</i>.