Назад
Задача

Один из простейших многоклеточныхорганизмов —водоросльвольвокс —представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клетокна 12больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

Решение

Утверждение задачи следует из формулы Эйлера. (О формуле Эйлера смотрите"Квант" #4, 1972или Курант и Роббинс "Что такое математика?" М., "Просвещение", 1967). Действительно, обозначим число вершин вольвокса через B , число ребер– через P , а число граней с i вершинами – через Σi . Тогда по формуле Эйлера

2=B-P+Σ Γi.

Но3B=Σi Γi , поскольку, по условию, в каждой вершине сходятся три грани, а2P=Σi Γi – к каждому ребру примыкают две грани. Следовательно,

12=6B-6P+6 Σ Γi2i Γi3i Γi6 Γi(6-i) Γi.

По условию, нестандартных граней нет, т.е. Γ348= Γ9=...=0. Поэтому Γ5 - Γ7=12– в замечательном соответствии с наблюдениями биологов.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Комментариев нет