Олимпиадные задачи из источника «выпуск 3»
выпуск 3
НазадДля каждого натурального <i>n</i> > 1 существует такое число <i>c<sub>n</sub></i>, что для любого <i>x</i> произведение синуса числа <i>x</i>, синуса числа <i>x</i> + <sup>π</sup>/<sub><i>n</i></sub>, синуса числа
<i>x</i> + <sup>2π</sup>/<sub><i>n</i></sub>, ..., наконец, синуса числа <i>x</i> + <sup>(<i>n</i> – 1)π</sup>/<sub><i>n</i></sub> равно произведению числа <i>c<sub>n</sub></i> на синус числа <i>nx</i>. Докажите это и найдите величину <i>c<sub>n</sub></i>.
<div class="catalogueproblemauthor">Автор: Л.Г.Макаров</div>Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах<i>АВ</i>,<i>ВС</i><nobr>и <i>АС</i></nobr>данного<nobr>треугольника <i>АВС</i>?</nobr>
Один из простейших многоклеточных<nobr>организмов —</nobr>водоросль<nobr>вольвокс —</nobr>представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток<nobr>на 12</nobr>больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?
По окружности выписаны <i>n</i> чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub>, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i> – 1 сумма <i>n</i> произведений чисел, отстоящих друг от друга на <i>k</i> мест, равна нулю
(то есть <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, <i>x</i><sub>...