Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2»

Какое наибольшее число точек можно разместить<nobr>a) на</nobr>плоскости;<nobr>б)* в</nobr>пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)

  а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.

  б) Решите общую задачу: при каких <i>a</i> и <i>b</i> можно разделить пополам  <i>a + b</i>  литров молока, пользуясь лишь сосудами в <i>a</i> литров, <i>b</i> литров и  <i>a + b</i>  литров? За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.

Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через  <i>s</i>(<i>n</i>)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число <i>m</i> особым, если его нельзя представить в виде  <i>m = n + s</i>(<i>n</i>).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + <i>s</i>(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса <i>r</i>, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше <i>r</i>.