Задача
Последовательность x0, x1, x2, ... определена следующими условиями: x0 = 1, x1 = λ, для любого n > 1 выполнено равенство
(α + β)nxn = αnxnx0 + αn–1βxn–1x1 + αn–2β2xn–2x2 + ... + βnx0xn.
Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдитеxnи выясните, при какомnвеличинаxnнаибольшая.
Решение
Докажем по индукции, что 
. База (n = 0, 1) задана в условии.
Шаг индукции. Пусть 
для всех k ≤ n – 1. Тогда из равенств
, поскольку общий множитель левой и правой частей положителен при n> 1. Неравенство 
эквивалентно неравенству n ≤ λ. Таким образом, при переходе от n – 1 к n число xn увеличивается, если
n < λ, и уменьшается, если n > λ. Значит, наибольшее значение xn принимает при n = [λ]; если λ – целое число, то xλ–1 = xλ – два наибольших числа последовательности xn.
Ответ
; при n = [λ].
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет