Олимпиадные задачи по математике
Пусть <i>A', B', C', D', E', F'</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, DE, EF, FA</i> произвольного выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>. Известны площади треугольников <i>ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'</i>. Найдите площадь шестиугольника <i>ABCDEF</i>.
Последовательность <i>x</i><sub>0</sub>, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ... определена следующими условиями: <i>x</i><sub>0</sub> = 1, <i>x</i><sub>1</sub> = λ, для любого <i>n</i> > 1 выполнено равенство <div align="center">(α + β)<i><sup>n</sup>x<sub>n</sub></i> = α<i><sup>n</sup>x<sub>n</sub>x</i><sub>0</sub> + α<sup><i>n</i>–1</sup>β<i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sub>1</sub> + α<sup><i>n</i>–2</sup>β<sup>2</sup>...
Разделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (см. рис.). Докажите, что площадь "среднего" четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника <i>ABCD</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/55132/problem_55132_img_2.gif"></div>