Олимпиадные задачи из источника «выпуск 8»
выпуск 8
НазадКогда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)
Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4, стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?
Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число<nobr><i>a</i> > 1,</nobr>а далее под каждым<nobr>числом <i>k</i></nobr>слева пишем число<i>k</i><sup>2</sup>, а<nobr>справа —</nobr>число<nobr><i>k</i> + 1.</nobr>Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.Например, при <nobr><i>a</i> = 2</nobr> вторая строка состоит из чисел 4 <nobr>и 3,</nobr> <nobr>третья —</nobr> из чисел 16, 5, 9 <nobr>и 4, </nobr> <nobr>четвёртая —</nobr> из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 <nobr>и 5.</nobr>
Сумма <i>n</i> положительных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> равна 1.
Пусть <i>S</i> – наибольшее из чисел <img align="middle" src="/storage/problem-media/73692/problem_73692_img_2.gif">
Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. При каких значениях <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> оно достигается?