Заметим, что если первый член a и разность d прогрессии имеют общий наибольший делитель  q > 1,  то на q можно разделить все члены прогрессии. Достаточно решить задачу для этой новой прогрессии, поскольку если какие-то члены новой прогрессии имеют одни и те же простые множители, то и после умножения на q они будут иметь одни и те же простые множители. Итак, мы можем считать, что a и d взаимно просты. Поэтому существует такое k, что  a^k – 1  делится на d (см. задачи 173597 и 160779).

  Следовательно, при любом целом  m > 0   a^km+1 – a = a(a^k – 1)(a^k(m–1) + a^k(m–2) + ... + 1)  делится на d, то есть  a^km+1 – a = nd,  где n – целое число. Таким образом, для каждого натурального m число  a^km+1 = a + nd  входит в нашу прогрессию, то есть существует бесконечно много членов прогрессии, являющихся некоторой степенью её первого члена a. Ясно, что все эти члены имеют одни и те же простые множители.

Ответ задачи отсутствует