Олимпиадные задачи из источника «выпуск 9»

Озеро имеет форму невыпуклого<nobr><i>n</i>-угольника.</nobr>Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого<nobr><i>m</i>-угольника,</nobr>где<nobr><i>m</i>≤<i>n</i>.</nobr>

На окружности расположено множество<nobr><i>F</i> точек,</nobr>состоящее из<nobr>100 дуг.</nobr>При любом<nobr>повороте <i>R</i></nobr>окружности множество<i>R</i>(<i>F</i>) имеет хотя бы одну общую точку с<nobr>множеством <i>F</i>.</nobr><span class="prim">(Другими словами, для любого <nobr>угла α</nobr> <nobr>от 0°</nobr> <nobr>до 180°</nobr> в <nobr>множестве <i>F</i></nobr> можно указать две точки, отстоящие одна от другой на <nobr>угол α.)</nobr></span>Какую наименьшую сумму длин могут иметь<nobr>100 дуг,</nobr>образующих<nobr>множество <i>F</i>?</nobr&g...

На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке <i>n</i>-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (<i>n</i>+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73699/problem_73699_img_2.gif"> </div>

Последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>_<i>n</i> < ...  такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность, либо представимо в виде суммы двух членов последовательности, быть может, одинаковых. Докажите, что  <i>a</i>_<i>n</i> ≤ <i>n</i>²  для любого  <i>n</i> = 1, 2, 3, ...

Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.