Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 5-7 класса - сложность 2 с решениями
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
НазадДоказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.
Можно ли нарисовать на плоскости шесть точек и так соединить их непересекающимися отрезками, что каждая точка будет соединена ровно с четырьмя другими?
Постройте замкнутую шестизвенную ломаную, пересекающую каждое свое звено ровно один раз.
Разрежьте фигуру, изображенную на рис. на 4 равные части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58228/problem_58228_img_2.gif" border="1"></div>
Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.
На плоскости лежат три шайбы <i>A, B</i> и <i>C</i>. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?
На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая <i>l</i> пересекает её ровно в 1985 точках.
Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.
Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
а) (2<i>n</i>+1)-угольника; б) 2<i>n</i>-угольника?
а) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью. б) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0, 5.
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.
Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.
На сторонах <i>AB, BC, CA</i> правильного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>P, Q, R</i> так, что <i>AP</i> : <i>PB = BQ</i> : <i>QC = CR</i> : <i>RA</i> = 2 : 1.
Докажите, что стороны треугольника <i>PQR</i> перпендикулярны сторонам треугольника <i>ABC</i>.
На основании <i>AB</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>E</i>, и в треугольники <i>ACE</i>и <i>ECB</i>вписаны окружности, касающиеся отрезка <i>CE</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Найдите длину отрезка <i>MN</i>, если известны длины отрезков <i>AE</i>и <i>BE</i>.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i>касается стороны <i>BC</i>в точке <i>K</i>, а вневписанная — в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>CK</i>=<i>BL</i>= (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника.
Прямые <i>PA</i>и <i>PB</i>касаются окружности с центром <i>O</i>(<i>A</i>и <i>B</i> — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки <i>PA</i>и <i>PB</i>в точках <i>X</i>и <i>Y</i>. Докажите, что величина угла <i>XOY</i>не зависит от выбора третьей касательной.
Две окружности радиусов <i>R</i>и <i>r</i>касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.
Окружность разделена на равные дуги <i>n</i> диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки <i>M</i>, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>. Докажите, что если $\angle$<i>CAA</i><sub>1</sub>=$\angle$<i>CBB</i><sub>1</sub>, то <i>AC</i>=<i>BC</i>.
Диагональ <i>AC</i>квадрата <i>ABCD</i>совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника <i>ACK</i>, причем точки <i>B</i>и <i>K</i>лежат по одну сторону от прямой <i>AC</i>. Докажите, что <i>BK</i>= |<i>AK</i>-<i>CK</i>|/$\sqrt{2}$и <i>DK</i>= (<i>AK</i>+<i>CK</i>)/$\sqrt{2}$.
Прямоугольный треугольник<i>ABC</i>с прямым углом<i>A</i>движется так, что его вершины<i>B</i>и<i>C</i>скользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что множеством точек<i>A</i>является отрезок и найдите его длину.
а) Продолжение биссектрисы угла <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>M</i>;<i>O</i> — центр вписанной окружности, <i>O</i><sub>b</sub> — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>AC</i>. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>C</i>,<i>O</i>и <i>O</i><sub>b</sub>лежат на окружности с центром <i>M</i>. б) Точка <i>O</i>, лежащая внутри треугольника <i>ABC</i>, обладает тем свойством, что прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>и <i>CO</i>проходят через центры описанных окружностей треугольников <i>BCO</i>,<i>ACO</i>и <i>ABO...
Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.