Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Плоскость, разрезанная прямыми»

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158307">27.1</a>). Пусть <i>a</i> -- количество красных частей,<i>b</i> — количество синих частей. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>$\displaystyle \le$2<i>b</i> - 2 - $\displaystyle \sum$($\displaystyle \lambda$(<i>P</i>) - 2), </div>причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно1 +<i>n</i>+$\sum$($\lambda$(<i>P</i>) - 1), причем среди этих частей 2<i>n</i>неограниченных.

Докажите, что количество отрезков, на которые данные прямые разбиты точками их пересечения, равно-<i>n</i>+$\sum$$\lambda$(<i>P</i>).

Докажите, что при<i>n</i>$\ge$3 среди полученных частей не менее (2<i>n</i>- 2)/3 треугольников.

Докажите, что если среди полученных фигур есть<i>p</i>-звенная и <i>q</i>-звенная, то<i>p</i>+<i>q</i>$\le$<i>n</i>+ 4.

а) Докажите, что при<i>n</i>= 2<i>k</i>среди полученных фигур не более 2<i>k</i>- 1 углов. б) Может ли при<i>n</i>= 100 среди полученных фигур быть только три угла?

а) Найдите число всех полученных фигур. б) Найдите число ограниченных фигур, т. е. многоугольников.

Докажите, что при<i>n</i>= 4 среди полученных частей есть четырехугольник.

99 прямых разбивают плоскость на<i>n</i>частей. Найдите все возможные значения<i>n</i>, меньшие 199.