Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Покрытия»
параграф 8. Покрытия
НазадНа круглом столе радиуса<i>R</i>расположено без наложений<i>n</i>круглых монет радиуса<i>r</i>, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что<i>R</i>/<i>r</i>$\le$2$\sqrt{n}$+ 1.
Докажите, что любые<i>n</i>точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше<i>n</i>и расстояние между любыми двумя из них больше 1.
Длина проекции фигуры$\Phi$на любую прямую не превосходит 1. Верно ли, что$\Phi$можно накрыть кругом диаметра: а) 1; б) 1,5?
Прожектор освещает угол величиной90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.
а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9. б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.
Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.
Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.
На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.