Задача
Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000 выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не более чем с 40 из них?
Решение
Если провести разрезы, близкие к вершинам выпуклогоn-угольника, то можно отсечь от негоnтреугольников и получить выпуклый 2n-угольник. Легко проверить, что при этом любая прямая пересекает не более двух отсеченных треугольников. Отсечем от правильного треугольника 3 треугольника, затем от полученного шестиугольника — 6 треугольников и так далее, до тех пор, пока не получим3 . 219-угольник. Любая прямая может пересечь не более двух треугольников, отсекаемых на каждом шаге. Поэтому всего прямая может пересечь не более1 + 2 . 19 = 39 многоугольников. Общее число многоугольников, на которые разбит правильный треугольник, равно1 + 3 + 3 . 2 + ... + 3 . 218= 1 + 3(219- 1) > 220= (210)2> 10002. Ясно, что можно отсекать не все треугольники, чтобы получить ровно 1000000 многоугольников.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь