Задача
Прямоугольник покрыт в два слоя карточками1×2 (над каждой клеткой лежат ровно две карточки). Докажите, что карточки можно разбить на два непересекающихся множества, каждое из которых покрывает весь прямоугольник.
Решение
Докажем это утверждение для любой фигуры, а не только для прямоугольника. Возьмем произвольную карточкуA0. Одна из ее клеток покрыта клеткой другой карточкиA1, вторая клеткаA1покрыта клеткой карточкиA2и т. д. Цепочка карточекA0,A1,A2,... замкнется, причем именно на карточкеA0, так как иначе какая-либо клетка будет покрыта трижды (не исключено, что эта цепочка состоит только из двух карточекA0иA1). Замкнутая цепочка карточек состоит из четного числа карточек (для доказательства можно рассмотреть ломаную, каждое звено которой соединяет центры клеток одной карточки; эта ломаная имеет четное число и горизонтальных и вертикальных звеньев). Поэтому для карточек, входящих в замкнутую цепочку, искомым разбиением является разбиение на карточки с четными и нечетными номерами. Все эти карточки выбрасываем и для оставшихся карточек проделываем такую же операцию и т. д.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь