Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Свойства частей, полученных при разрезаниях»

Треугольник, все углы которого не превосходят120^<tt>o</tt>, разрезан на несколько треугольников. Докажите, что хотя бы у одного из полученных треугольников все углы не превосходят120^<tt>o</tt>.

В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков, параллельных его сторонам, причем эти отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин отрезков равна 18. Докажите, что площадь одной из частей, на которые разбит квадрат, не меньше 0,01.

Докажите, что если выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то <i>ABCD</i> – трапеция или параллелограмм.

На квадратном листе бумаги нарисовано<i>n</i>прямоугольников со сторонами, параллельными сторонам листа. Никакие два из этих прямоугольников не имеют общих внутренних точек. Докажите, что если вырезать эти прямоугольники, то количество кусков, на которые распадается оставшаяся часть листа, не более<i>n</i>+ 1.

Докажите, что если<i>n</i>-угольник разрезан произвольным образом на<i>k</i>треугольников, то<i>k</i>$\ge$<i>n</i>- 2.

а) В выпуклом<i>n</i>-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на несколько многоугольников. Докажите, что у каждого из них не более<i>n</i>сторон. б) Докажите, что если<i>n</i>чётно, то у каждого из полученных многоугольников не более<i>n</i>- 1 сторон.