Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Разные задачи на разрезания»

Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной из сторон каждого из которых — целое число. Докажите, что длина одной из сторон исходного прямоугольника — целое число.

а) Докажите, что из пяти попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник. б) Докажите, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

Квадратный лист бумаги разрезают прямой на две части. Одну из полученных частей разрезают на две части, и так делают несколько раз. Какое наименьшее число разрезаний нужно сделать, чтобы среди полученных частей оказалось 100 двадцатиугольников?

Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000 выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не более чем с 40 из них?

Докажите, что выпуклый 22-угольник нельзя разрезать диагоналями на 7 пятиугольников.

Докажите, что для любого натурального<i>n</i>, где<i>n</i>$\ge$6, квадрат можно разрезать на<i>n</i>квадратов.

Докажите, что семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.

Докажите, что любой выпуклый<i>n</i>-угольник, где<i>n</i>$\ge$6, можно разрезать на выпуклые пятиугольники.

Можно ли невыпуклый четырехугольник разрезать двумя прямыми на 6 частей?