Рассмотрим три прямые, попарно образующие углы60^o, и проведем к данному множеству точек три пары опорных прямых, параллельных выбранным прямым. Проведенные опорные прямые задают два правильных треугольника, каждый из которых накрывает данные точки. Докажем, что сторона одного из них не превосходит$\sqrt{3}$. На каждой опорной прямой лежит хотя бы одна из данных точек. Расстояние между любой парой данных точек не превосходит 1, поэтому расстояние между любой парой опорных прямых не превосходит 1. Возьмем одну из данных точек. Пустьa₁,b₁иc₁— расстояния от нее до сторон одного правильного треугольника,a₂,b₂иc₂— расстояния до сторон другого. При этом мы предполагаем, чтоa₁+a₂,b₁+b₂иc₁+c₂— расстояния между опорными прямыми. Как только что было доказано,a₁+a₂$\le$1,b₁+b₂$\le$1 иc₁+c₂$\le$1. С другой стороны,a₁+b₁+c₁=h₁иa₂+b₂+c₂=h₂, гдеh₁иh₂— высоты построенных равносторонних треугольников (задача 4.46). Следовательно,h₁+h₂$\le$3, а значит, одна из высотh₁иh₂не превосходит 3/2. Но тогда сторона соответствующего правильного треугольника не превосходит$\sqrt{3}$.

Ответ задачи отсутствует