Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Разные задачи»

На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

Дан выпуклый многоугольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_n. Докажите, что описанная окружность некоторого треугольника<i>A</i>_i<i>A</i>_{i + 1}<i>A</i>_{i + 2}содержит весь многоугольник.

На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все <i>n</i>точек можно накрыть кругом радиуса 1.

На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0,<i>m</i>), (<i>n</i>, 0), (<i>n</i>,<i>m</i>), где <i>n</i>и <i>m</i> — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.

На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.

Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?