Задача
Из каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении.
Решение
Возьмём наибольшую сторонуABданного многоугольника и рассмотрим полосу, состоящую из тех точек, проекции которых на прямуюABпопадают на отрезокAB. Эту полосу должна пересекать какая-нибудь другая сторонаCDмногоугольника (одна из вершинCиDможет совпадать сAили сB). НеравенствоCD$\le$ABпоказывает, что одна из вершинCиDлежит внутри или на границе полосы (еслиC=AилиB, то вершинаDлежит внутри полосы). Вершина, лежащая внутри или на границе полосы и отличная отAиB, обладает требуемым свойством.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь