Для определенности можно считать, чтоAO$\ge$COи DO$\ge$BO. Пусть точки B₁и C₁симметричны точкам Bи Cотносительно точки O. Тогда треугольникC₁OB₁содержится внутри треугольникаAOD, поэтому вписанная окружность SтреугольникаC₁OB₁содержится внутри треугольникаAOD. Предположим, что отрезокADне совпадает с отрезкомC₁B₁. Тогда окружность Sпереходит во вписанную окружность треугольникаAODпри гомотетии с центром Oи коэффициентом больше 1, т. е.r_AOD>r_C1OB1=r_COB. Получено противоречие, поэтомуA=C₁и D=B₁, т. е.ABCD — параллелограмм. В параллелограммеABCDплощади треугольниковAOBи BOCравны, поэтому если у них равны радиусы вписанных окружностей, то равны и периметры, так какS=pr. Следовательно,AB=BC, т. е.ABCD — ромб.

Ответ задачи отсутствует