Рассмотрим все окружности, проходящие через две соседние вершины A_iи A_{i + 1}и такую вершину A_j, что$\angle$A_iA_jA_{i + 1}< 90^o. Хотя бы одна такая окружность есть. В самом деле, один из угловA_iA_{i + 2}A_{i + 1}и A_{i + 1}A_iA_{i + 2}меньше90^o; в первом случае положимA_j=A_{i + 2}, а во второмA_j=A_i. Выберем среди всех таких окружностей (для всех iи j) окружность Sнаибольшего радиуса; пусть для определенности она проходит через точки A₁,A₂и A_k. Предположим, что вершина A_pлежит вне окружности S. Тогда точки A_pи A_kлежат по одну сторону от прямойA₁A₂и $\angle$A₁A_pA₂<$\angle$A₁A_kA₂< 90^o. Из теоремы синусов следует, что радиус описанной окружности у треугольникаA₁A_pA₂больше, чем у треугольникаA₁A_kA₂. Получено противоречие, поэтому окружность Sсодержит весь многоугольникA₁...A_n. Пусть для определенности$\angle$A₂A₁A_k$\le$A₁A₂A_k. Докажем, что тогда A₂и A_k — соседние вершины. ЕслиA_k$\ne$A₃, то180^o-$\angle$A₂A₃A_k$\le$$\angle$A₂A₁A_k< 90^o, поэтому радиус описанной окружности у треугольникаA₂A₃A_kбольше, чем у треугольникаA₁A₂A_k. Получено противоречие, поэтому окружность Sпроходит через соседние вершины A₁,A₂и A₃.

Ответ задачи отсутствует