Олимпиадные задачи из источника «глава 20. Принцип крайнего» - сложность 2 с решениями

Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?

Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158053">20.8</a>, воспользовавшись понятием выпуклой оболочки.

На плоскости расположено несколько точек, все попарные расстояния между которыми различны. Каждую из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая ломаная?

На плоскости дано<i>n</i>$\ge$3 точек, причем не все они лежат на одной прямой. Докажите, что существует окружность, проходящая через три из данных точек и не содержащая внутри ни одной из оставшихся точек.

Внутри круга радиуса 1 лежат восемь точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 1.

В некоторой стране 100 аэродромов, причём все попарные расстояния между ними различны. С каждого аэродрома поднимается самолет и летит на ближайший к нему аэродром.

Докажите, что ни на один аэродром не может прилететь больше пяти самолетов.

Докажите, что если длины всех сторон треугольника меньше 1, то его площадь меньше$\sqrt{3}$/4.