Задача
На плоскости даны 2n+ 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что nиз оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а n — вне ее.
Решение
ПустьAB — одна из сторон выпуклой оболочки данных точек. Занумеруем оставшиеся точки в порядке возрастания углов, под которыми виден из них отрезокAB, т. е. обозначим их черезC1,C2,...,C2n + 1, так, что$\angle$AC1B<$\angle$AC2B<...<AC2n + 1B. Тогда точкиC1,...,Cnлежат вне описанной окружности треугольникаABCn + 1, а точкиCn + 2,...,C2n + 1 — внутри ее, т. е. это и есть искомая окружность.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь