Задача
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.
Решение
Возможны два варианта расположения четырех точек.
- Точки являются вершинами выпуклого четырехугольникаABCD. Выберем наибольший из углов при его вершинах. Пусть это будет уголABC. Тогда$\angle$ABC$\ge$90o, т. е. треугольникABCне остроугольный.
- Точка Dлежит внутри треугольникаABC. Выберем наибольший из угловADB,BDCи ADC. Пусть это будет уголADB. Тогда$\angle$ADB$\ge$120o, т. е. треугольникADBтупоугольный. Доказать, что других вариантов расположения четырех точек нет, можно следующим образом. Прямые, проходящие через три из данных точек, делят плоскость на семь частей (рис.). Если четвертая данная точка лежит во второй, четвертой или шестой частях, то имеет место первая ситуация, а если в первой, третьей, пятой или седьмой, то вторая.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет