Пусть A₁,B₁и C₁ — центры данных окружностей, касающихся сторон треугольника,O — центр окружности, касающейся этих окружностей,O₁и O₂ — центры вписанной и описанной окружностей треугольникаABC. ПрямыеAA₁,BB₁и CC₁являются биссектрисами треугольникаABC, поэтому они пересекаются в точке O₁. Следовательно, треугольникA₁B₁C₁переходит в треугольникABCпри гомотетии с центром O₁, причем коэффициент гомотетии равен отношению расстояний от точки O₁до сторон треугольниковABCи A₁B₁C₁, т. е. равен(r-$\rho$)/r. При этой гомотетии описанная окружность треугольникаABCпереходит в описанную окружность треугольникаA₁B₁C₁. Так какOA₁=OB₁=OC₁= 2$\rho$, радиус описанной окружности треугольникаA₁B₁C₁равен 2$\rho$. Следовательно,R(r-$\rho$)/r= 2$\rho$, т. е.$\rho$=rR/(2r+R).

Ответ задачи отсутствует