Задача
В каждый угол треугольникаABCвписана окружность, касающаяся описанной окружности. ПустьA1,B1иC1 — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямыеAA1,BB1иCC1пересекаются в одной точке.
Решение
ПустьX — центр гомотетии (с положительным коэффициентом), переводящей вписанную окружность треугольникаABCв описанную окружность. ПрямаяAXпересекает вписанную окружность в точкахA'иA'', одна из которых (для определенностиA'') при указанной гомотетии переходит в точкуA, а другая — в некоторую точкуA2, лежащую на описанной окружности. Рассмотрим гомотетию с центромA, переводящуюA'вA2. При этой гомотетии центр вписанной окружности переходит в точку, лежащую на отрезкеOA2. Это означает, что вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности в точкеA2. Следовательно,A2=A1. Поэтому прямыеAA1,BB1иCC1проходят через точкуX.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь