Олимпиадные задачи из источника «глава 18. Поворот» для 9 класса

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников<i>APR</i>,<i>BPQ</i>и <i>CQR</i>образуют треугольник, подобный треугольнику<i>ABC</i>.

Пусть<i>AKL</i>и <i>AMN</i> — подобные равнобедренные треугольники с вершиной <i>A</i>и углом $\alpha$при вершине;<i>GNK</i>и <i>G'LM</i> — подобные равнобедренные треугольники с углом$\pi$-$\alpha$при вершине. Докажите, что<i>G</i>=<i>G'</i>. (Треугольники ориентированные.)

На сторонах произвольного треугольника<i>ABC</i>вне его построены равнобедренные треугольники<i>A'BC</i>,<i>AB'C</i>и <i>ABC'</i>с вершинами <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>и углами $\alpha$,$\beta$и $\gamma$при этих вершинах, причем$\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 2$\pi$. Докажите, что углы треугольника<i>A'B'C'</i>равны$\alpha$/2,$\beta$/2,$\gamma$/2.

Постройте<i>n</i>-угольник, если известны <i>n</i>точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах этого<i>n</i>-угольника и имеющих при вершинах углы$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$.

Пусть углы $\alpha$,$\beta$,$\gamma$таковы, что0 <$\alpha$,$\beta$,$\gamma$<$\pi$и $\alpha$+$\beta$+$\gamma$=$\pi$. Докажите, что если композиция поворотов<i>R</i>_C^{2$\scriptstyle \gamma$}<tt>o</tt><i>R</i>_B^{2$\scriptstyle \beta$}<tt>o</tt><i>R</i>_A^{2$\scriptstyle \alpha$}является тождественным преобразованием, то углы треугольника<i>ABC</i>равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>построены правильные треугольники<i>A'BC</i>и <i>B'AC</i>внешним образом,<i>C'AB</i> — внутренним,<i>M</i> — центр треугольника<i>C'AB</i>. Докажите, что<i>A'B'M</i> — равнобедренный треугольник, причем$\angle$<i>A'MB'</i>= 120^<tt>o</tt>.

а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник. б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных внутренним образом. в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треугольника.

Внутри выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>построены равнобедренные прямоугольные треугольники<i>ABO</i>₁,<i>BCO</i>₂,<i>CDO</i>₃и <i>DAO</i>₄. Докажите, что если<i>O</i>₁=<i>O</i>₃, то<i>O</i>₂=<i>O</i>₄.

На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены квадраты с центрами <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. На сторонах треугольника<i>PQR</i>внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника<i>ABC</i>.

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360^<tt>o</tt>, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360^<tt>o</tt>.

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

Докажите, что три прямые, симметричные произвольной прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

На векторах$\overrightarrow{A_iB_i}$, где<i>i</i>= 1,...,<i>k</i>, построены правильные одинаково ориентированные<i>n</i>-угольники<i>A</i>_i<i>B</i>_i<i>C</i>_i<i>D</i>_i... (<i>n</i>$\ge$4). Докажите, что<i>k</i>-угольники<i>C</i>₁...<i>C</i>_kи <i>D</i>₁...<i>D</i>_kправильные одинаково ориентированные тогда и только тогда, когда<i>k</i>-угольники<i>A</i>₁...<i>A</i>_kи <i>...

Дан треугольник<i>ABC</i>. Постройте прямую, делящую пополам его площадь и периметр.

Треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁получен из треугольника<i>ABC</i>поворотом на угол $\alpha$($\alpha$< 180^<tt>o</tt>) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон<i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>CA</i>и <i>C</i>₁<i>A</i>₁(или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику<i>ABC</i>.

Для данного треугольника<i>ABC</i>, один из углов которого больше120^<tt>o</tt>, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

По двум прямым, пересекающимся в точке <i>P</i>, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точка <i>A</i>, по другой — точка <i>B</i>. Через точку <i>P</i>они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника<i>ABP</i>проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от <i>P</i>.

На плоскости лежат две одинаковые буквы $\Gamma$. Концы коротких палочек этих букв обозначим <i>A</i>и <i>A'</i>. Длинные палочки разбиты на <i>n</i>равных частей точками<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_{n - 1};<i>A</i>₁',...,<i>A</i>_{n - 1}' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые<i>AA</i>_iи <i>A'A</i>_i' пересекаются в точке <i>X</i>_i. Докажите, что точки<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_{n - 1}образуют выпуклый многоугольник....

Поворот с центром <i>O</i>переводит прямую <i>l</i>₁в прямую <i>l</i>₂, а точку <i>A</i>₁, лежащую на прямой <i>l</i>₁, — в точку <i>A</i>₂. Докажите, что точка пересечения прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂лежит на описанной окружности треугольника<i>A</i>₁<i>OA</i>₂.

Даны точки <i>A</i>и <i>B</i>и окружность <i>S</i>. Постройте на окружности <i>S</i>такие точки <i>C</i>и <i>D</i>, что<i>AC</i>|<i>BD</i>и дуга<i>CD</i>имеет данную величину $\alpha$.

Докажите, что при повороте на угол$\alpha$с центром в начале координат точка с координатами (<i>x</i>,<i>y</i>) переходит в точку<div align="CENTER"> (<i>x</i> cos$\displaystyle \alpha$ - <i>y</i> sin$\displaystyle \alpha$, <i>x</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>y</i> cos$\displaystyle \alpha$). </div>

На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника<i>ABCDEF</i>внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Шестиугольник<i>ABCDEF</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>, причем<i>AB</i>=<i>CD</i>=<i>EF</i>=<i>R</i>. Докажите, что середины сторон<i>BC</i>,<i>DE</i>и <i>FA</i>образуют правильный треугольник.

Даны точка<i>X</i>и правильный треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что из отрезков<i>XA</i>,<i>XB</i>и<i>XC</i>можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка<i>X</i>лежит на описанной окружности треугольника<i>ABC</i>(Помпею).